高
底
平行四边形的面积 ＝底 ×高
2
高
底 上底
三角形的面积 ＝底 ×高÷２
3
高 下底 上底
梯形的面积 ＝（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ底 ＋下底）×高÷２
图1
图2
解决问题中的化归策略。 （1）化抽象问题为直观问题。
1 1 1 1 案例1： ＋ ＋ ＋ ……＝ 1 4 2 8 16
解决问题中的化归策略。
（2）化繁为简的策略。 四年级（下册）第117---118页例1《植树问 题》。 例1：同学们要在全长100米的小路一边植树， 每隔5米种一棵树（两端要栽）。一共需要多 少棵树苗？
案例2 ：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长 两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳 子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）
5米跳绳的根数 2米跳绳的根数 剩余米数 1 7 1 2 5 0 3 2 1 4 0 0
案例3：一瓶矿泉水满瓶水为500毫升，小 林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分， 高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过 来，无水的部分高度是4厘米。小林喝了多 少水？ 设小林喝的水为v毫升，列式为： v：500＝4：(16+4) v＝100。
a大于b，所以b不大于a。
a>b，b>c，所以a>c。
1、推理思想的具体应用。
锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直 角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐 角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经 知道了29＞26，26＞23，所以29＞23的推 理方法，自然地可以把这种推理方法迁移 至此。
二年级上册第80 页例4中的9的乘
发现：
棵数=间隔数+1
间隔数=棵数－1
解决问题中的化归策略。
（2）化繁为简的策略。 案例2：把186拆分成两个自然数的和，怎 样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积 最大？187呢？
把186拆分成93和93, 93和93的乘积最大，乘 积为8649。
（2）化繁为简的策略。 案例3：你能快速口算85×85＝， 95×95＝，105×105＝吗？
五、推理思想
三段论 如：一切奇数都不能被2整除，(2³＋１) 是奇数，(2³＋１)不能被2整除。 一个三角形不是锐角三角形和 直角三角形，它是钝角三角形。 对称性关系推理 1米＝100厘米，所以100厘米＝1米
演绎推理
选言推理
推理
关系推理 归纳推理 合情推理 类比推理 反对称性关系推理 传递性关系推理
一、符号化思想
二、化归思想
九、统计思想
十、分析法和综合法
十一、概率思想
三、模型思想
四、数形结合思想
十二、反证法
十三、集合思想
五、推理思想
六、方程和函数思想 十四、极限思想 七、几何变换思想 十五、假设法 八、分类讨论思想
十六、运筹思想
一、符号化思想
1、符号化思想的应用。
第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规
1、化归思想的具体应用。
二、化归思想
2、教学中的化归策略。
（1）下图是平行四边形停车位，它的 面积是（ )。
Ａ．7.5×4 Ｂ．7.5×6 Ｃ．6×4
王老师在教学时，用木条制成一个
长方形框教具，木条长18厘米，宽
15厘米。它的周长和面积各是多少？
如果把它拉成平行四边形，周长和
面积会怎样？
1
个位数是5的相等的两个数的乘积分为左
右两部分：左边为因数中5以外的数字乘
比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。
所以85×85＝7225，95×95＝9025，
105×105＝11025
解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。
案例1：某旅行团队翻越一座山。上午9时 上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1 小时。下山时，每小时行4千米，下午4时 到达山底。全程共行了20千米。上山和下 山的路程各是多少千米？
（4）化未知问题为已知问题。 案例1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这 两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？ 变式： 1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这 两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ 1 2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 2 多30千克，这 两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ 3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是 香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多 少千克？ 4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是 苹果的2倍。这三种水果一共销售了210千克。销售香蕉多 少千克？
和掌握知识、解决问题 。
二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透 。 三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思 想的体现 。 四是用代数(算术)方法解决几何问题。
四、数形结合思想 1、数形结合思想的具 体应用。
（1）数的表示和运算。 数和运算的实物化、 图形化和操作化，便于 人们直观理解数和计算。 摆小棒、画图形等。
律，并用符号表示。如：a+b=b+a 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。
第三，会进行符号间的转换。
第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表
示的问题。
一、符号化思想
1、符号化思想的应用。
用符号表示变化规律。 数列的变化规律:1,2,3,5,8,… 图形的变化规律。
2、符号化思想的教学。
“垂直与平行”
解决问题中的化归策略。
（2）化繁为简的策略。
全长 5米 10米 15米 …… 间隔长度 5米 5米 5米 研究方法（线段图） 间隔段数 1 2 3 棵数 2 3 4
发现：
棵数=间隔数+1
间隔数=棵数－1
解决问题中的化归策略。
（2）化繁为简的策略。
全长 5米 10米 15米 …… 间隔长度 5米 5米 5米 研究方法（线段图） 间隔段数 1 2 3 棵数 2 3 4
数学思想和方法是数学知识在 更高层次上的抽象和概括，它蕴 涵在数学知识发生、发展和应用
的过程中。
高考考试大纲的说明
不懂得数学思想方法的数学教 师不是一个称职的教师。
——徐利治
数学思想和数学方法既有区别又有密切 联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些， 而数学方法的实践性更强一些。人们实现数 学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选 择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。 因此，二者是有密切联系的。我们把二者合 称为数学思想方法。数学思想方法是数学的 灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就 要深入到数学的“灵魂深处”。
③找一找；
④折一折。
二年级下册《余数与除数的关系》
小棒根数 8 9 10 11 12 13 …… 摆几个□ □□ □□ □□ □□ □□□ □□□
剩几根小棒 列式
8÷4＝2 9÷4＝2……1 10÷4＝2……2 11÷4＝2……3
12÷4＝3
13÷4＝3……1
结论：余数都比除数小。
第二，对于大多数人来说，在现实 生活和工作中利用数学解决各种问 题，基本上都是根据对现实情境的 分析，利用已有的数学知识构建模 型。
期末测试体现转化数学思想的题目： 1、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过 程中，这一过程体现了（ ）数学思想。这 一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠 定基础。
2、“转化”是一种常见的解决问题的方法。 如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼 成一个近似的长方形，这两个图形（ ）。 A、面积相等，周长也相等 B、面积相等，周长不相等 C、面积不相等，周长也不相等
法口诀，这是归
纳推理。
有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4 个地数多1个，5个5个地数多1个。问这 箱苹果至少有多少个？
有一箱苹果,3个3个地数少1个，4个4个 地数少2个，5个5个地数少3个。问这箱 苹果至少有多少个？
2、推理思想的教学。
假设都是上山，那么总路程是18（6×3）千米， 比实际路程少算了2千米，所以，上山时间是4小 时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。
解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。
案例2：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了 11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克 香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱? 直接分析：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可 得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克 苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香 蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价 是每千克2.5元。
第三，应用已有的数学知识分析数 量关系和空间形式，经过抽象建立 模型，进而解决各种问题。
案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行 10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带文具 盒，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校， 他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西 的时间忽略不计）
利用画图来直
观呈现各种信
息，有利于学
生理解算式。
②解决问题的直观策略。
③利用坐标系中的图像 直观理解正比例关系。
（3）统计中的图形。 ①各种统计图表。
（4）空间与图形中的数。 ①图形的周长、面积 和体积公式。
②图形中边之间的关系。
③图形变换中的数。
坐标与变换
2、数形结合思想的教学。
这些是课堂教学的本源和精髓
——品《小学数学思想方法》
真正的教育是将在学校所学的知 识全忘掉,所剩下的。
——陶行知
在学生的脑力劳动中，摆在第 一位的并不是背书，而是让学生本
人进行思考。背书会使人变傻。
——苏霍姆林斯基
数学思想是数学学科发生、发
展的根本，是探索研究数学所依赖
的基础，也是数学课程教学的精髓， 内涵十分丰富。
第二，适当拓展数形结合思想的应用。