比例解行程问题知识框架比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s st t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

例题精讲【例 1】甲、乙两人同时A 地出发，在A 、B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB 之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离B 地1800米，第三次的相遇点距离B 地800米，那么第二次相遇的地点距离B 地 。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星【题型】填空【解析】 设甲、乙两人的速度分别为1v 、2v ，全程为s ，第二次相遇的地点距离B 地x 米。

由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B 地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B 地的距离为12112122v v sv s s v v v v -⨯-=++，那么第一次相遇的地点到B 地的距离与全程的比为1212v v v v -+； 两人第一次相遇后，甲调头向B 地走，乙则继续向B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B 地的距离，即1800米。

根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B 地的距离与第一次相遇的地点到B 地的距离的比为1212v v v v -+；类似分析可知，第三次相遇的地点到B 地的距离与第二次相遇的地点到B 地的距离的比为1212v v v v -+；那么，8001800xx =，得到1200x =，故第二次相遇的地点距离B 地1200米。

【答案】1200【巩固】 甲、乙两人都从A 地经B 地到C 地。

甲8点出发，乙8点45分出发。

乙9点45分到达B 地时，甲已经离开B 地20分。

两人刚好同时到达C 地。

问：到达C 地时是什么时间？【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星【题型】解答【解析】 10点33分。

解：到达B 地甲用85分，乙用60分，也就是说，甲走85分的路程，乙要少走25分。

由此推知，从B 到C ，乙要比甲少走20分，即乙要走20604825⨯=分。

所以两人同时到C 地的时间为10点33分。

【答案】10点33分【例 2】某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分前我超过一个骑自行车的人。

”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。

如果自行车的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星【题型】解答【解析】 7倍。

提示：汽车行10分的路程，等于步行10分与骑车20分行的路程之和。

【答案】7倍【巩固】 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23。

一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。

这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星【题型】解答【解析】 8时。

解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为1:2，所用时间比为()()321:322:4:32÷÷==。

因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。

如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。

丙乙甲【答案】8时【例 3】甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。

乙火车上午8：00从B 站开往A 站，开出若干分后，甲火车从A 站出发开往B 站。

上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A ，B 两站的距离的比是15∶16。

甲火车从A 站发车的时间是几点几分？【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星【题型】解答【解析】 8点15分。

解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A ，B 两站的距离的比是15∶16，说明相遇前乙车所走路程等于乙火车1时所走路程的()11612164-÷=，也就是说已走了14时。

所以甲火车发车时间是8点15分。

【答案】8点15分【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。

乙车先从B 站开往A 站，当走到离B 站72千米的地方时，甲车从A 站发车开往B 站。

如果两列火车相遇的地方离A ，B 两站距离的比是3∶4，那么A ，B 两站之间的距离为多少千米？【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星【题型】解答【解析】 315千米。

解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A ，B 两站的距离之比是3∶4＝15∶20，说明相遇前乙车走的72千米占全程的20128152035-=+，所以全程为87231535÷=（千米） 【答案】315千米【例 4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星【题型】解答【解析】 设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图．我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校l处，甲班已乘车至距学校7l处．此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．汽车、乙班的距离为7l-l=6l，两者的速度和为7+1=8，所需时间为6l÷8=0.75l，这段时间乙班学生又步行0.75l的路程，所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行1.75l 路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75 l，应为全程．所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米，即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机场24-19.2=4.8千米．即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场．【答案】4.8千米【巩固】小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的43倍，营地有一辆摩托车，只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。

为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答【解析】11∶15。

解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至B点，小光下车步行，车调头去接小明；车到A点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。

由题中条件，车速是小明速度的16倍，是小光速度的12倍。

设从营地到A点的距离为a。

当车接到小明时，小明走了a，车行了16a，因为车开到B后又返回到A，所以A到B的距离为7.5a。

车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行15a。

由于车速是小光的12倍，所以小光走的距离是车追上距离的111，即1511a。

小明和小光步行的距离之比是15:11:1511a a【答案】11:15【例 5】甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。

如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（）米。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空【解析】2.4；2.1【答案】2.4；2.1【巩固】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达B点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.【答案】30分【例 6】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68÷=，因此，走上坡路需要的时间是511288-=，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为111:8:118=，所以，上坡速度是平路速度的811倍．【答案】8 11倍【巩固】每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早出门770 ÷70 =11分钟．【答案】11分钟【例 7】一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。