等腰直角三角形中的
常用模型
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等腰直角三角形中的常用模型
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶
点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全
等的直角三角形：
例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一
点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。

（1）求证：BE-CF=EF ；
（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立
吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。

（1）求证：M 为BE 的中点
（2）若PC=2PB ，求MB
PC
的值
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，
过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。

（1）求证：BG=AF ；
D
E
F F
E
D
(2)
(1)
C
C
A
B
B
A
(2)
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D E
F
(1)
(2)
(3)
(1)
D
D
E
E
C
C
E
C
A
A
A
B
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（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？
若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D
是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .
变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，
AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对
应边构造全等三角形
A
B
C
D
E
F
(2)
(1)
F
E
D C
B
A
G
G B
A
C
D
E
F
(2)
(1)
F E
D
C
B
A
例1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，过C 作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。

变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC 于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，
（1）求BC
AB
BM
+的值；（2）求AB
BC
AM
-的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：
例1、如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。

猜想CF与EM
的数量关系并证明；
图（1）
M
F
E
B
C A
A
B C
D
E
A
B C
D
E
E
D
C
B
A
(1)(2)(3)
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（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用
如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠BED =90º。

把DE 平移到CF ，使E 与C 重合，连接AE 、AF ，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE =∠ACF ）
例.如图：两个直角三角形ABC 、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC 、PE 。

（1）如图1，若∠BAC =∠DAE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段PC 、PE 的关系是 ；
（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成
立？任意选择一个证明你的结论。

三【巩固练习】
1．已知：Rt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，若O 是BC 的中点，以O
为顶点作∠MON ，交AB 、AC 于点M 、N 。

（1）若∠MON =90°（如图1），求证：OM=ON ； （2）若∠MON =45°（如图2），求证：①AM+MN =CN ；
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。

（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，
∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；
图2
N
M
O C
B
A
图1
N
M
C
B
A
A
B
C
D
E
P
图3
A
B
C
D
E
P
图2
P
E
D
C
B
A
(3)
(1)
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（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于
点M ，连FM ，等式1=-OF
FM
AM 是否成立？若成立，请证明；若不成
立，说明理由。

3.在△ABC 和△DCE 中，AB =AC ，DC =DE ,∠BAC =∠EDC =90°，点E 在AB 上，连AD ，DF ⊥AC 于点F 。

试探索AE 、AF 、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。

4．如图：等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB ，AC=BC ，DE=BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，E 为AB 是一点，P 为AE 的中点。

⑴连接PC ，PD ；则PC ，PD 的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。

F
A
D
B
C
E
(2)
⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接
PF，试判断△PCF的形状；在点E运动过程中，△PCF是否可为
等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比。

6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。

点N为OA上一
点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。

（1）求证：BN平分∠OBA；（2）求
BN
MN
OM
的值；
（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

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