对回归分析的认识、体会和思考海口市第一中学潘峰一、教材分析1．内容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。

在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。

教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。

从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。

为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。

作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。

这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。

这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。

2．学习价值：⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。

3．教材处理的优点：⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。

4．重点和难点重点：了解线性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法—相关指数和残差分析。

难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。

5．目标定位：⑴．了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义； ⑵．了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；⑶．掌握建立回归模型的一般步骤；⑷．会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；⑸．了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；5．方法指引：⑴．对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模拟而已，是不确定中的确定性；⑵．了解最小乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的差别与联系；⑶．会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。

二、 教材中的要点精析：1． 相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。

大致分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关系。

2． 回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。

通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。

3． 回归函数，也叫回归方程。

形如y bx a =+的散点图的各个点大致分布在一条直线附近，这种分析就叫线性回归分析，直线方程叫做回归直线方程。

不是形如y bx a =+的回归方程，我们称之为非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。

回归直线：对于一组线性相关关系的数据 ，其回归直线方程的斜率b ∧和截距a ∧的最小乘法估计公式分别为：121()(),()ni ii n ii x x y y b x x ∧==--=-∑∑ （1） ,a y b x ∧∧=- （2） 其中1111,.n ni i i i x x y y n n ====∑∑ (,)x y 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。

线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型y bx a e =++中的y 的值是由x 和随机因素e 共同确定的，即x 只能解释部分y 的变化，因此把x 称为解释变量，把y 称为预报变量，其中a b 和为模型的未知参数，e 是y 与bx a +之间的误差。

通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值Ey bx a =+。

线性回归模型的完整表达式为：y bx a e =++ ，其中随机误差e 的方差 越小，通过回归直线预报真实值的精确度越高。

随机误差e 是引起预报值y ∧与真实值y 之间误差的原因之一，其大小取决于随机误差e 的方差。

再者由于公式（1）、（2）中的a b ∧∧和分别为截距和斜率的估计值，与真实值a b 和之间也有误差，这也是引起预报值y ∧与真实值y 之间误差的另一个原因。

4． 残差分析因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个变量的数字特征来刻画它的一些总体特征。

均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小。

为了衡量预报的精度，需要估计i e 的值，通过样本方差来估计总体方差。

解决问题的途径是通过样本的估计值i e ∧来估计i e 的值。

根据截距和斜率的估计公式（1）、（2），可以建立回归方程y b x a ∧∧=+，其中b ∧是b 的估计量，a ∧是a 的估计量。

对于样本点而言，相应于它们的随机误差为 i e ，其估计值为i e ∧， 称为相应于数据点的残差。

类比样本方差估计总体方差的思想，可用i y ∧作为i y 的估计量，其中i y ∧是由公式（1）、（2）给出的，21()n i ii y y ∧=-∑成为残差平方和。

可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。

通常残差平方和越小，预报精度越高。

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据。

然后，可以通过残差12,,,n e e e ∧∧∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计等，这样作出的图形称为残差图。

5．散点图表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。

散点图使相关关系具有直观性。

6．回归分析的解题规律：a) 在解具体问题过程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再求其线性回归方程；b) 相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数r 和相关指数2R ，两者在教材中具有平方关系（在只有一个解释变量的线性模型中2R 恰好等于相关系数r 的平方）。

当0r >时，表明两个变量正相关；当0r <时，表明两个变量负相关。

当r 越接近于1，表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关性越强，r 越接近于0，表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样2R 取值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。

在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近1，表示回归的效果越好。

c) 相关程度的强弱，除相关系数的大小之外，与选取的数据个数多少有关，还有一个问题是显著性临界值的选取，教材中点到即止，没有往下交待；d) 回归分析计算量大，现在一般用计算机解决，学习中只要求明白原理即可；e) 教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已，还可以做其他函数模拟；f) 回归分析中，通常先观察散点图，若分布在一条直线附近，经验证线性相关，则选一次函数，否则选取其他函数模拟；g) 判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数 ，相关系数r 的绝对值越接近于1，相关程度越高；相关指数2R ，与r 类似，2R 的值越大残差平方和越小，拟合越精确。

h) 判断模拟精确的尺度为：2R （或残差平方和）的大小。

7．建立回归模型的一般的基本步骤：① 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；② 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；③ 由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）； ④ 按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；⑤ 得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

[典型例题]例1．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72x （血球体积，ｍｍ），y （红血球数，百万） (1) 画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 （3）若血球体积为49ｍｍ，预测红血球数大约是多少？解：（１）见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会运用简单的excel 作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。

设回归直线为y b x a ∧∧=+，利用公式（1）、（2）计算得0.1597,0.1364b a ∧∧==所以所求回归直线的方程为y = 0.1597x + 0.1364 ，图形如下:（3）由（2）中求出的回归直线方程，把49x =代入，得7.9617y =（百万），计算结果表明，当血球体积为49mm 时，红血球数大约为7.9617百万。

[实战演练]1.某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间()t s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120深度()y m μ 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46（1）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80 s 时产品腐蚀的深度大约是多少？解：（1）经计算可得0.3043, 5.3444b a ∧∧==故所求的回归直线方程为 y = 0.3043x + 5.3444（2）由（1）求出的回归直线方程，把80x =代入，易得29.6884()y m μ=，计算结果表明，当腐蚀80 s 时产品腐蚀深度大约为29.6884m μ8．非线性回归：在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系。