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均值生成
均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种.
所谓邻均值生成, 就是对于等时距的数列,用相邻 数据的平均值构造新的数据.即若有原始数列X [ x(1), x(2), , x( n)], 记k点的生成值为z( k ), 且z( k ) 0.5 x( k ) 0.5 x( k 1), 则称z( k )为邻均值生成数,显然, 这种生成是相邻值的等权生成.
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累加生成AGO（Accumulated Generating
Operation）
累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加 以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始 数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是 使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系 统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可 以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原 始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累 加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次 累加,从而生成新的序列的一种手段.

(i ) ( x ( r ) (k )) i 1 ( x ( r ) (k )) i 1 ( x ( r ) (k 1))
式中， 0 为0次累减,即无累加, 从而有关系式 (3 5),
1为1次累减 (i )为i次累减
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生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律 性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始 时间序列进行数据处理，经过数据处理后的 时间序列即称为生成列。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现 象中去发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值 生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.
设X (0) [ (1), x (0) (2),
, x (0) ( n 1), ( n)]为端点是空
(0)
穴的序列, 若用 (1)右邻的级比生成x (1), 用 ( n)的 左邻级比生成x (0) ( n), 则称x (0) (1)和x (0) ( n)为级比生成
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(0) (0) (0)
称 ( K )为级比, ( k )为光滑比, 其表达式为
( k ) x ( k ) / x ( k 1)
(0) (0)
( k ) x ( k ) / x ( k 1)
(0) (1)
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(2 12)
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dx + ax (1) = u dt
i 1 i 1 k k 1
( 2) ( x ( r ) (k )) x ( r 2) (k ) (i ) ( x ( r ) (k )) x ( r i ) (k ) ( r ) ( x ( r ) (k )) x ( 0) (k )
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于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9,17, 27, 34}
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当然，有些实际问题的数列中有负数(例如温度等)， 累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信 息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没 得到加强，甚至可能被削弱。例如，给定原始数列 X(0)=(1，一1，+3，一4)，如图3，累加后得图4， 图any 管理学院
所谓非邻均值生成, 就是对于非等时距的数列,或虽为 等时距数列,但剔除异常值之后出现空穴的数列,用空 穴两边的数据求平均值构造新的数据以填补空穴,即若 有原始数据X [ x(1), x(2), , ( k ), x( k 1), , x( n)], 这 里 ( k )为空穴, 记k点的生成值为z( k ), 且z( k ) 0.5 x( k 1) 0.5 x( k 1), 则称z( k )为非邻均值生成数,显然,这种生成 是空穴前后信息的等权生成.
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灰色预测理论
陈文广

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灰色系统的定义
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信 息是完全充分的。
黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的， 只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“ 贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、 开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律 的正确把握和描述.
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级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法 .对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填 补空缺,只能采用级比生成.级比生成在建模中可 以获得较好的灰指数律.级比生成是级比(k)与光 滑比(k)生成的总称.
设序列X
(0)
[ x (1), x (2), , x ( n)]为原始序列,
严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。 社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预 测。
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灰色系统的定特点
灰色系统模型的特点：
对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是 一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。 灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它 们总是有整体功能的,总是有序的.因此,它必然潜藏着 某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后 利用它。
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对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后 再做累加生成。先将原始数据加+4，相当于 将横坐标轴向下平移4个单位，得数据X(0)＝(5， 3，7，0)，再进行累加生成，得X(1)＝(5，8， 15，15)，图5表明数列X(1)有较强的规律。
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( 0) ( x ( r ) (k )) x ( r ) (k ) (1) ( x ( r ) (k )) ( 0) ( x ( r ) (k )) ( o ) ( x ( r ) (k 1)) ( 2) ( x ( r ) (k )) (1) ( x ( r ) (k )) (1) ( x ( r ) (k 1))
2 灰色系统的模型
1. 建模原理 给定观测数据列
) ( 0) ( 0) ( 0) x (0 { x ( 1 ), x ( 2 ), , x (N ) } 经一次累加得
（2.1）
x
(1)
{x (1), x (2), , x ( N ) }
(1) (1) (1)
（2.2）
设 x (1) 满足一阶常微分方程
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从而可得下述关系
(1) ( x ( r ) (k )) 0 ( x ( r ) (k )) 0 ( x ( r ) C (k 1)) x ( r ) (k ) x ( r ) (k 1)
x ( r 1) (i) x ( r 1) (i) x ( r 1) (k )
计算示例
x (1) ( x (1) (1), x (1) (2), x (1) (3), x (1) (4), x (1) (5), x (1) (6)) (5,9,14,24,35,46) 解：x ( 0 ) (k ) x (1) (k ) x (1) (k 1) 若k 0, x (1) (0) 0 k 1, x ( 0 ) (1) x (1) (1) x (1) (0) x (1) (1) 5 k 2, x ( 0 ) (2) x (1) (2) x (1) (1) 4 k 3, x ( 0 ) (3) x (1) (3) x (1) (2) 5 k 4, x ( 0 ) (4) x (1) (4) x (1) (3) 10 k 5, x ( 0 ) (5) x (1) (5) x (1) (4) 11 k 6, x ( 0 ) (6) x (1) (6) x (1) (5) 11 从而有：IGAO（x ( 0 )） (5,4,5,10,11,11) 不难看出，累减生成具 有求导性质，这是因为 dx(k ) x(k ) x(k t ) lim dt t t 0 而（1）( x(k )) x(k ) x( k 1), 相当于t 1
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累减生成AGO（Inverse Accumulated Generating Operation ） 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加 生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为 非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算 符号为∆.
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数列累加
【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加 ： x(1) (1) x(0) (1) 6，
x (2) x (1) x (2) 6 3 9，
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