设广义坐标是独立的，令x1 ,x2 , ,xn 是广义坐标的变分，
非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成
n
W Qixi i 1
拉格朗日方程为
d L L
dt
(
.
xi
)
xi
Qi
,
i 1,2, , n
拉格朗日方程的三种情形
拉氏方程的三种形式：
d dt
T qk
T qk
Qk
(1 ) 第二类拉格朗日方程（原始式）
m
m
m x&(0)
k / m x(0)
s
k
s2 ( k / m)2
s2 ( k / m)2
x(t) m x&(0) sin k t x(0) cos k t
k
m
m
弹簧－质量系统：简谐振动系统
❖ 该系统的数学模型可看出为简谐振动系统。
❖ 初始条件为：速度＝0；位移为x0
❖ 该系统数学模型为：x(t) x0 cos
和圆柱轴心偏离角 。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，
故在接触点A处它们具有相同的线速度：vA
.
R
(R
.
r)
r
。
系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动
所具有的动能
.
T
MR2 2
1
m(R r)2
.
2
1
m r2 2
22
4
.
MR2
2
2
1 2
m(R
r)2
.
2
m 4
( R
.
r)
R
.
2
Mg
•
R
O
r
2
k
m
2 f k m 1
数学模型的作用示例
❖ 弹簧－质量系统的数学模型可看出其是一简 谐振动系统，且定义了各种参数。
❖ 利用该数学模型可以为其他系统进行类似分 析，如机械转动系统。
❖ 如图所示的机械转动系统，该系统是扭簧－ 惯量系统，系统的数学模型及特性应同弹簧 －质量系统类似。
数学模型的作用示例
6 2)2
62
x0
(sห้องสมุดไป่ตู้
s2 2)2 62
x(t
)
1 3
x0e2t
sin
6t
x0e2t
cos
6t
e2t
(
1 3
sin
6t
cos
6t
)
x0
弹簧－质量－阻尼系统
❖ 其响应曲线如图： ❖ 该系统为一欠阻尼正旋
振动系统。由于阻尼存 在振动随时间变小。
欠阻尼：阻尼很小，振 动可以发生； 过阻尼：阻尼很大，振 动将不发生。
&x& 4x& 40x 0
[s2 X (s) sx(0) x&(0)] 4[sX (s) x(0)] 40X (s) 0
Q
x(0)
x0 ,
x&(0)
0,
X (s)
(s 4)x0 s2 4s 40
X
(s)
s2
2 x0 4s
40
(s 2)x0 s2 4s 40
1 3
x0
(s
令V ( x1 , x2 , , xn ) 作为系统在任意瞬时的势能；
..
.
令T ( x1, x2 , , xn , x1, x2 , , xn ) 作为系统在同瞬时的动能；
..
.
拉格朗日函数 L ( x1, x2 , , xn , x1 , x2 , , xn ) 定义为
L T V
moy (F ) 0,
moz (F ) 0
二、基于力学理论的机械系统建模
• 牛顿第二定律告诉 我们，物体受外力 作用时，所获得的 加速度大小与合力 大小成正比，与物 体的质量成反比， 加速度的方向与合 外力的方向相同。 其数学表达式为：
F
ma
m
d 2s dt
m
dv dt
d2x
Fx m dt
如右图表示一个半径为R、质量为m的均质圆柱体，它可以 绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体 纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。 圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。
动能
T
1
m
.
x2
1
J
.
2
2
2
系统由于弹簧变形所产生的势能为
势能 U 1 kx2
2
U
x
Fdx
x kxdx 1 kx2
0
0
2
U
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
1 2
kx22
1 2
kx12
U
2 Td
1
2 1
k d
1 2
k
2 2
1 2
k12
弹簧中储存的势能与弹簧受拉或压无关。
能量公式
❖动能T：质量体可储存动能。
直动 转动
T 1 mv2 2
T
1 2
J&2
T x2 Fdx t2 F dx dt t2 Fvdt t2 mv&vdt
❖ 从而可通过时间的测定而计算出系统的转动
惯量。
J&& k 0
&& k 0
J
k T 2 2
J
k
J
J kT 2
4 2
弹簧－质量－阻尼系统
❖ 建立系统数学模型： m&x& bx& kx 0
❖ 带入具体参数值后求解微分方程：
m 1.459kg,b 5.837Ns / m, k 58.37N / m
能量法
❖ 力可以做功，做功就具有能量。 ❖ 功－力与力作用距离的乘积或力矩与角
位移的乘积；
W Fx或T
❖ 能量：
储存能量：形式为势能与动能
势能－因位置而具有的能量 动能－因速度而具有的能量
消耗能量
能量公式
❖势能U：质量和弹性元件可储存势能。
质量体m
h
U 0 mgdx mgh
弹簧体 扭转弹簧
在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数， 并结合能量守恒原理及有关近似理论等。
针对特殊的机械系统 — 机器人，其运动学及动力学分析 的数学建模和仿真与传统的机械动态特性研究因其多运动自 由度特点，多体动力学理论基础在机器人运动动力学分析中 特别适用。
机械系统建模方法
❖ 创建等效电路－相似系统 ❖ 应用牛顿定律－直接建模 ❖ 能量守恒法 ❖ 拉格朗日方程（多自由度系统）
O'
A
系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。
则系统的势能为 V mg(R r)cos
于是有拉格朗日函数
L T V
.
MR2
2
2
1 2
m(R
r)2
.
2
m 4
(R
.
r)
.
R
2
mg(R
r)cos
代入拉格朗日方程有
(2M
..
m)R
m(R
..
r)
0
3(R
..
r)
..
R
2g sin
c1 c2
c2
0
F
f
c2
c2
Y
y1
y2
某行星滚动机构中有一质量为m，半径为 r 的实心圆柱在半径为 R，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心O的转 动惯量分别为mr 2 / 2, MR2 ，建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动 数学模型。
分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角θ
2
2
T U 1 mv2 1 kx2 1 mx&2 1 kx2 常数
2
22
2
d (T U ) mx&&x& kxx& (m&x& kx)x& 0 dt
Q x& 0,m&x& kx 0
能量法示例2
❖ 该系统无阻尼，为守恒系统。
❖ 应用能量法推导数学模型：
❖ 平衡位置的势能为：
U0
mgx0
d dt
L qk
L qk
0
（2） 主动力系是保守力系情形
d dt
L qk
L qk
Qk
（3）主动力系是部分保守力部分非保 守力情形
例:系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。
解: 选择y1，y2为广义坐标系，
其系统动能和势能分别为
T
1 2
M1
.
y12
1 2
M2
.
y22
V
1 2
k1
y
2
推导运动方程的能量法
❖ 理论基础－能量守恒。
不消耗能量的系统称为守恒系统。 如：摩擦，阻尼
❖ 总能量的变化＝外力对系统做的功：
T U W
❖ 如果没有外部能量的输入，则：
T U 0 T U 常数
能量法示例1
❖ 设该系统无摩擦，则为守恒 系统。
❖ 应用能量法推导数学模型：
T 1 mv2 ,U 1 kx2
x1
t1 dt
t1
t1
v2 v1
mvdv
1 2
mv22
1 2
mv12
T
1 2
J&22
1 2
J&12
能量公式
❖消耗能量：阻尼元件。
W x2 Fdx x2 bx&dx t2 bx&dxdt t2 bx&2dt