线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。
<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。
<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。
则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。
<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。
< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。
( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。
< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。
2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。
3．向量组1111，225，3247，4120是线性 <填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。
fgMAHkwHrE4．已知123,,是四元方程组Axb 的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234，234444，则方程组Axb 的通解为。
fgMAHkwHrE5．设2311153Aa ，且秩(A>=2，则a=。
四、计算下列各题<每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且121342122A，求矩阵B 。
2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而TA，求nA 。
3.已知方程组1123211232123x x ax x x x x ax x a 有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f 5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E-A|=0。
<1）求矩阵A 的特征值；<2）A 是否可相似对角化？为什么？；<3）求|A+3E|。
fgMAHkwHrE五．证明题<每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，ABBA 是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设A 为m n 矩阵，且的秩()R A 为n ，判断TA A 是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试题解答一、1．<F ）<A A n）2．<T ）3．<F ）。
如反例：100010000A，000010001B。
4．<T ）<相似矩阵行列式值相同）5．<F ）二、1．选B 。
初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。
A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关；B 中的向量组与1，2，3等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
fgMAHkwHrE3．选C 。
由052E A A2232()3AA E E A E A E E ，112()3AEAE >。
4．选D 。
A 错误，因为n m ，不能保证()(|)R A R A b ；B 错误，0Ax的基础解系含有A R n个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A nR A b n ，b Ax无解；D 正确，因为()R A n 。
fgMAHkwHrE5．选A 。
A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得1112(,,,)nPAPdiag QBQ ，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1．!11n n <按第一列展开）2．31；53<A3=233A）3．相关<因为向量个数大于向量维数）。
124,,。
因为3122，124||0A 。
4．TTk 42024321。
因为3AR ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
fgMAHkwHrE5．6a <)02A AR 四、1．解法一：ABBA1()A E B A BA E A 。
将A E 与A 组成一个矩阵(|)A E A ，用初等行变换求1(|())E A E A 。
|A E A=221121243233121120)(31r r 22112124323310000121313,r r r r 12112014323010000123r r 121120222110100001322r r 1000010112220013253r 10000101122200132523r r 5231030101100001。
故523301100B。
解法二：ABBA1()A E B A BA E A 。
1021101()332113121326A E ，因此101()103325BA E A。
2．解：1111111111111111TA，A A 42，11()()()()()()44n n nTTTTTTTTAA 。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b ，因此其系数行列式11||112011aA a。
即1a或4a。
当1a时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b 110123010200于是()(|)23R A R A b ，方程组有无穷多解。
分别求出其导出组的一个基础解系13122T，原方程组的一个特解100T，故1a 时，方程组有无穷多解，其通解为13100122TTk ，fgMAHkwHrE当4a时增广矩阵1141(|)112114116A b 11410220015，()2(|)3R A R A b ，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
222111111111(|)112102222111111(1)(4)12a a a Ab aaaaa aaa a a由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b 。
因此21(1)(4)102aa a ，即1a 。
求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。
二次型的矩阵122224242A，2122||224(2)(7)242AE 因此得到其特征值为122，37。
再求特征值的特征向量。
解方程组(2)0A E x ，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量1210T，2201T。
解方程组(7)0AE x得对应于特征值为37的一个特征向量3122T。
再将121T，2201T正交化为1210Tp ，224155Tp 。
最后将1210Tp ，224155Tp ，3122T单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵3235032155455311552552，其标准形为232221722y y y f 。
5．解：<1）由02AEAE知-1，2为A 的特征值。
2BAB02BE A ，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。
fgMAHkwHrE<2）能相似对角化。
因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。
fgMAHkwHrE<3）E A 3的特征值为2，5，1，1。
故E A 3=10。
五、1．BA AB 为对称矩阵。
证明：TTTBAABBAAB=TT TT B A AB =B ABA =BA AB，所以BA AB为对称矩阵。
2．A A T为正定矩阵。
证明：由A A A A TTT知A A T 为对称矩阵。
对任意的n 维向量0，由n AR 得0A，AA TT=2A0，由定义知A A T是正定矩阵。
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