题目：微分方程的求解——基于Maple工具姓名:学号:专业:学科:老师:目录一、简介 (3)概况： (3)Maple 主要技术特征： (3)1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 (3)2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 (4)3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 (4)4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 (4)二、Maple在微分方程中的应用 (5)1、常用函数 (5)1)求解常微分方程的命令dsolve. (5)2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. (5)3)偏微分方程求解命令pdsolve. (6)2、方法 (6)1)一阶常微分方程的解法 (6)2)二阶线性常微分方程的解法 (7)3、作图 (8)1)常微分方程数值解作图命令odeplot (8)2)偏微分方程作图命令PDEplot (8)三、各种方程的求解 (8)第一部分:一阶常微分方程 (8)1、可分离变量方程 (8)2、齐次方程 (9)3、线性方程 (10)4、Bernoulli方程 (10)第二部分:二阶线性常微分方程 (11)1、二阶常系数线性齐次方程 (11)2、二阶常系数线性非齐次方程 (12)3、Euler方程(变系数) (12)第三部分:偏微分方程 (13)1、波动方程 (13)2、热传导方程 (14)3、作图 (14)四、总结 (15)一、简介概况：Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。
Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。
Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。
Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。
Maple是教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效地解决问题。
用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高中学生到高级研究人员。
Maple 主要技术特征：1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者★内置超过5000个符号和数值计算命令，覆盖几乎所有的数学领域，如微积分，线性代数，方程求解，积分和离散变换，概率论和数理统计，物理，图论，张量分析，微分和解析几何，金融数学，矩阵计算，线性规划，组合数学，矢量分析，抽象代数，泛函分析，数论，复分析和实分析，抽象代数，级数和积分变换，特殊函数，编码和密码理论，优化等。
★各种工程计算：优化，统计过程控制，灵敏度分析，动力系统设计，小波分析，信号处理，控制器设计，集总参数分析和建模，各种工程图形等。
★提供世界上最强大的符号计算和高性能数值计算引擎，包括世界上最强大的微分方程求解器（ODEs，PDEs，高指数DAEs）。
★智能自动算法选择。
★强大、灵活、容易使用的编程语言，让您能够开发更复杂的模型或算法。
★与多学科复杂系统建模和仿真平台MapleSim紧密集成。
2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性★大量易学易用的工具和特征，提供“数学版office”工作环境，用户即使没有任何语法知识也可以完成大量数学问题的计算，戏剧性缩短学习曲线。
★技术文件界面组合文字、数学、图形、声音、建模、科学计算等您所有的工作。
★大量的绘图和动画工具，包括超过150种图形类型。
基于OpenGL的可视化技术，可定义相机轨迹。
图片输出格式包括：BMP、DXF、EPS、GIF、等等。
★数据输入和输出格式：ASCII、CSV、MATLAB、Excel、等。
★各种文件处理工具，如页眉页脚、段落、幻灯片等；各种图元件，刻度盘、滑动条、按钮等，可在图元件中添加程序，实现交互式仿真操作。
3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识★ Maple是您所有数学工作的理想环境，您所想象的数学就是您在Maple中做数学的方式。
★多种格式（1D、2D）输入数学内容，如教科书一样地显示和操作数学和文字。
★工作过程包括最初的草稿、计算、深度分析、演示报告、共享，以及重用。
★专业出版工具包括文件处理工具，可输出Maple文件为PDF、HTML、XML、Word、LaTeX、和MathML格式文件。
★特有的教育功能包，包含特定主题的计算方法信息和Step-by-Step求解步骤。
★使用MapleNET发布交互式内容到web上，将您的工作交互式呈现给您的同事、学生、和同行。
4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中★ OpenMaple API - 在外部程序中使用Maple作为计算引擎，或者通过External calling，在Maple中使用外部程序，如C/Java/Fortran。
★ Maple - CAD系统双向连接：通过CAD Link为CAD系统增加重要的分析功能，如统计、优化、单位和公差计算等，结果在CAD模型中自动更新，目前支持SolidWorks，NX，和 Autodesk Inventor。
★ Excel：Excel数据的输入和输出；通过加载项，在Excel内使用Maple计算命令。
★专业出版工具包括文件处理工具，可输出Maple文件为PDF、HTML、XML、Word、LaTeX、和MathML格式文件。
★数据库：对大型数据集完成分析和可视化。
★ MATLAB连接：您可以使用MATLAB Link在Maple中调用MATLAB完计算，以及利用MATLAB代码生成和转换的功能；另一个选择是Maple Toolbox for Matlab工具箱，Maple-Matlab双向连接，共享数据、变量等。
★ Simulink：输入和输出Simulink模块，添加Maple的分析和优化功能到Simulink 模块。
二、Maple在微分方程中的应用1、常用函数1)求解常微分方程的命令dsolve.dsolve(常微分方程)dsolve(常微分方程，待解函数，选项)dsolve({常微分方程，初值}，待解函数，选项)dsolve({常微分方程组，初值}，{待解函数}，选项)其中选项设置解得求解方法和解的表示方式。
求解方法有type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过Fourier变换求解)、method=laplace(通过Laplace变换求解)等。
解的表示方式有explicit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。
当方程比较复杂时，要想得到显式解通常十分困难，结果也会相当复杂。
这时，方程的隐式解更为有用，一般也要简单得多。
dsolve为标准库函数。
2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol.在Maple中求解一阶线性方程既可以用dsolve函数求解，也可以用Detools函数包中的linearsol函数求解。
linearsol是专门求解线性微分方程的命令，使用格式为: linearsol(线性方程，待解函数)linearsol的返回值为集合形式的解。
3)偏微分方程求解命令pdsolve.pdsolve(偏微分方程，待解变量，选项) pdsolve(偏微分方程，初值或边界条件，选项) pdsolve 为标准库函数，可直接使用。
如果求解成功，将得到几种可能结果： 方程的通解；拟通解(包含有任意函数，但不足以构造通解)； 一些常微分方程的集合；2、方法1)一阶常微分方程的解法a 分离变量法 I 直接分离变量法。
如()()dy f x g y dx=，方程右端是两个分别只含x 或y 的函数因式乘积，其通解为()()dy f x dx C g y =+⎰⎰。
II 换元法之后再用分离变量法。
对于以y x为中间变量的函数，如()dyyg dx x=，令u=y x,则原方程变为()du g u udxx-=，再用分离变量法可得()du dx C g u ux=+-⎰⎰。
b 常数变易法I 对于线性非齐次方程来说，线性非齐次方程的通解=它所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。
如y'+P(x)y=f(x)，若f(x)≡0,y'+P(x)y=0为一阶线性齐次方程，其通解为()P x dxy C e -⎰=，令()()P x dx y C x e -⎰=代入非齐次方程，求出C(x),再的特解。
II 对于伯努利方程(非线性一阶)来说，先将其化为线性。
如'()()(0,1)n y P x y f x y n +=≠,两端除以n y ，得1'()()n n y y P x y f x --+=，令z=1n y -,则原方程可化为1()()()1dzP x z f x n dx+=-。
2)二阶线性常微分方程的解法a 二阶线性齐次方程,y''+p(x)y'+q(x)y=0 若1()y x 与2()y x 是方程的解，且12()()y x y x ≠常数(即线性无关)，则1122()()()y x c y x c y x =+是通解，考虑常系数，即p.q 都是常数，y''+py'+qy=0。
其特征方程为20k pk q ++=。
解为12k =22k =。
I 24p q ->0，两个不等实根，且21k x k xe e≠常数时，12k xk xy ee=+。
II 24p q -<0，一对共轭复根，12,k i k i αβαβ=+=-，1210.5()k x k x y e e =+，1220.5()k xk xy ee=-，12/y y ≠常数，12(cos()sin())x y e C x C x αββ=+。
III 24p q -=0，两个相等实根，12k k k ==，12,kx kx y e y xe ==，12/y y ≠常数，12()kxy C C e=+。
b 二阶常系数线性非齐次微分方程，y''+py'+qy=r(x).非齐次方程的通解=它所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。
利用常数变异法，令其特解为*1122()()()()()y x C x y x C x y x =+，则'''''*11112222()()()()()()()()()y x C x y x C x y x C x y x C x y x =+++，令''1122()()()()C x y x C x y x +=0……①，并求出"*()y x ，将*()y x '"**(),()y x y x 并将它们都带入到原方程，得''''1122()()()()C x y x C x y x +=r(x)……② 联立①，②式得''12(),()C x C x 。