{ a n } 中， a1 1 ， 练习4、 例 2．在正数数列 1 1 S n (an ) an 。 2 a n ，求
例 9：已知数列 a n 的前 n 项和为 练习5、 S n 1 4 a n 2 , n N .
*
S n， a1 1,
(1) 若 b n a n 1 2 a n , 求证：b n 为等比数列；
练习1：已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an, 练习2: 已知数列{an}满足a1=1, a n 3 n 1 a n 1 n 2 （1）求a2,a3 ,a4
a (2)证明： n 3 1
n
2
类型6 an1
pan qan r
( p, q, r均不为零)
2 , 3 , 4 ,
an a1
a1 已知 an ，求an . f n a n 1
f 2 f 3 f n a n
f n
类型4
an1 pan q( p 0, p 1)
.
求 :构 法 待 系 法 法 造 （ 定 数 ）
an .
a1 2 , a n 0 . ( 3) a n 1 a n 2 a n a n 1
练习3、 例1、设{an}的首项为1的正项数列，且
n 1a
2 n 1
na a n 1 a n 0 n 1, 2 ,3,.....
2 n

求它的通项公式。
类型七：形如 a1 a , a 2 b , a n 2 pa n 1 qa n , （其中 p , q 为常数， 且 p q 1）
类型八：已知 S n 或 S n 与 a n 的关系式，求 a n
类型九：其他类型
a1 2, 已知 a n 1 4 a n 2 .
2n 3 2
类型8 6、形如an 1 f (an )
例 8、已知数列
归纳法
2 1 an ，
a n 中， a 1 2， a n 1 求数列 a n 的通项公式．
然后9 其它类型 求法：按题中指明方向求解. 例
设数列{a n }满足a1 1, a 2 2, a n 1 3 (a n 1 2a n 2 )( n 3,4, )
1 f b n 1
(n=2,3,4,…..) 求{bn}的通
（求通项公式 a ） ：
n
类型一： 形如 a1 a , a n 1 a n f ( n ), （其中 f ( n ) 是可以求和的数列 { f ( n )} 的 通项公式） 类型二：形如 a1
a , a n 1 f ( n ) a n , （其中 f ( n ) 是可以求积的数
练习1、 例 6、已知 S n 为数列 a n 的前 n 项和，且 S n 2 2 a n，
求数列
a n 的通项公式．
练习2、 例 4：已知正数数列 a n 的前 n 项和为 S n，
a n 与 2的等差中项等于 求 an . S n 与 2的等比中项，
例 3：已知数列 a n 的前 n 项和为 S n， a n 0 , 练习3、 an 6Sn an 3 , n N .求 S n .
( 2 )设 c n (3)求 S n . an 2
n
, 求证：c n 为等差数列；
练习6、 例4、设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn， 3 满足关系tS n 2 t 3 S n 1 3t t 0 , n 2 , n N （1） 求证：数列{an}是等比数列； （2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}, 使 b1=1,bn= 项公式
练习： 例 5：已知数列
a n 的递推公式，求
1 2 n, n 2
an .
1 ） a1 2, a n a n 1
2 ） a1 1, a n 1 a n 2
n
类型3
a n 1 a n f ( n)
求法：迭代法、累乘法 例 在数列{an }中,已知a1 1, 有nan1
a1 2 a n 1 3a n
；
类型1 定义法
例1 、 已 知 数 列 a n 的 递 推 公 式 ， 求 a n
1) a1 3, a n 1 a n 2 等差数列 1 2) a1 2, a n 1 a n 等比数列 3
a1 3 练习： 例1、数列 a n 中， a n 0， 1 1 ，求 a n． 2 a an n 1
列 { f ( n )} 的通项公式） 类型三： 形如 a1 a , a n 1 pa n q , （其中 p , q 为常数， p 1, q 0 ） 且
类型四： 形如 a1 a , a n 1 pa n qn r , （其中 p , q , r 为常数， p 1, q 0 ） 且
令a n 1 p(a n ), 其 为 定 数 , 中 待 系 化 等 数 为 比 列 {a n }求 项 . 通
例
已知数列 a n }中, 若a1 1, a n 1 2a n { 3( n 1), 求数列{a n }的通项公式 .
练习： 例 3、数列 a n 中， a 1 1， a n 1 3 a n 1，求 a n．
类型5 an1 pan f (n)( p 0, p 1)
a n1 an f ( n) 求法 : 待定系数法或化为 n 1 n n1 p p p 后累加法求解 .
例
在数列{a n }中a1 1, a n1 2a n 2

n
( n N ), 求数列{an }的通项公式 .
a1 6 例 2、数列 a n 中， ，求 a n． a n 1 1 2 ( a n 1)
类型2
a n 1 a n f ( n)
求法：迭代法、累加法
例 在数列{a n }中,已知a1 1,当n 2时,
有a n a n 1 2n 1( n 2), 求数列 的通项公式.
*
练习4、 已知各项均为正数的数 {a n }的前 列
n项和S n满足S1 1, 且6 S n (a n 1) (a n 2), n N , 求{a n }的通项公式.
例 7、 练习5、A n 、 B n 分别为 a n 、b n 的前 n 项和， a n
n 12 A n 13 n ，求 b n． 4B
ex 2、数列 a n 中， a 1 1， a n a n 1 2 n 1
n
2 , n N * ，求 a n 、 S n．
求法 : 倒数法, 若p r , 则化为等差数列求 通项; 若p r , 则化为类型3求通项.
例 已知数列 an }中, a1 1, S n {
求{a n }的通项公式 .
S n 1 2 S n 1 1
,
类型7
S n f (an )
求法 : 利用n 2时, a n S n S n1化为 {a n }或{ S n }的递推关系求解 .
( n 1)a n ( n N , n 2), 求数列{a n } 的通项公式.

1） 练习： a1 2, a n 1 3 a n
n
累乘法
a2 a f 1 a3 f a2 a4 f a3 an a n 1
类 型 五 ： 形 如 a1 a , a n 1 pa n q
p 1, q 0, q 1 ）
n 1
, （其中
p, q
为常数，且
类型六：形如
a1 a , a n 1
pa n qa n r
,
（ 其 中 p, q 为 常 数 ， 且
p 1, q 0 ）
已 S n， a n . 知 求
(n 1) S1 an Sn Sn 1 (n 2)
例 2 、 已 知 数 列 a n 的 前 n 项 和 S n， 求 a n
1) S n 2 n 3 n
2
2) S n n 1
2
例
已知数列 a n }满足S n a n 2n 1, { 其中S n是{a n }的前n项和, 求{a n }的 通项公式.
常见递推数列通项公式的求法
复习等差(等比)数列的递推公式
1、等差数列的递推公式：an an 1 d (n 2) a1 a a n 1 a n d a1 a 2、等比数列的递推公式：a n a n 1 q(n 2) a1 a a n 1 a n q a1 a
(1)求证 : 数列{a n 1 a n }是等比数列； ( 2)求数列{a n }的通项公式 n . a
例 8：已知数列 练习1、
a n 满足 a1 1, a 2
3
a n 2 2 a n 1 a n 4，求 a n .
练习2、 例 7：已知数列 a n 的递推公式，求
ex 4．数列 a n 中， a 1
1
2 n 2， n N ，求 a n．
， a n a n 1
1
n n 1
补充题：
(1)数列an 中，a1 1 an 1 an 5； ， 1 (2)数列a n 中，a1 6，a n 1 a n； 2
求下列数列的通项公式
：
a1 3 an n 8 ex1、数列 a n 中，满足 ； 2 a n 1 a n 1 1 a1 2 2 ex 2、数列 a n 中， a n 0， ；a n an n3 a n 1 1 2a n a1 5 ex 3、已知数列 a n 满足 ． n a n 1 2 a n 3 a n 2 3