• 2．极值与最值的关系 • (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是函数在某
一点及其附近的局部性概念，具有相对性；而函数的最值则 是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数 值的比较．
• (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值 或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可 能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值 也没有极小值．
课后作业： 1．指出下列函数的单调区间和极值点 (1) f (x) x3 2x2 2x 7 (2) f (x) 2x3 6x2 7 (3) f (x) 2x3 6ax2 7 (a 0) 21. .已知函数f (x) x3 ax2 (a 6)x 1
有极大值和极小值, 求a的取值范围。
增区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
增区间: (x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
引例（1）的变式：
已知函数f (x) x3 2x2 ax 1
（1）若函数 f (x) 在R上无极值， 求a的取值范围；
（2）若函数 f (x)有3个单调区间， 求a的取值范围；
•已知函数f (x) x3 bx2 cx d (b, c, d为常数）， 当k (,0) (4,)时，f (x) k 0只有一个实根； 当k (0,4)时，f (x) k 0有3个相异实根。 现给出以下四个命题：
① f (x) 4和f '(x) 0有一个相同的实根
② f (x) 0和f '(x) 0有一个相同的实根 3 f (x) 3 0的任一实根大于f (x) 1 0的任一实根 ④ f (x) 5 0的任一实根小于f (x) 2 0的任一实根 其中正确的命题是 ①②④
已知函数f (x) x3 2x2 ax 1
（3）若函数f(x)在x=1处取得极值，
Ⅰ）判断函数f(x)的图像与x轴的 交点有几个？
Ⅱ）关于x的三次方程f(x)+m=0有三个 不同的实根，求m的取值范围；
Ⅲ）若函数g(x)=x3-2x2+3x+1与函数 h(x)=2x+m的图像只有一个公共点， 求m的取值范围。
o
x2
x1 x
三次函数与其导函数图象之间的关系
判
f′(x)
别 式
=
3ax2+ 2bx+c 图
象
△>0
a>0 △=0
△<0
△>0
a<0 △=0 △<0
f(x)= ax3+b x2+cx
单 调 区 间
增区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
减区间: (x1, x2)
+d 大
致
图
象
增区间: (-∞, +∞)
课堂练习
课堂小结
1.知识与方法：
本节课我们运用了导数工具对三次函数进行初步研究：
（1）了解三次函数图像形状 （2）了解三次函数的性质（单调性、极值、图像与x轴
交点情况等） （3）初步掌握三次函数的有关题型：
①单调性与极值问题 ② 图像交点与三次方程根的问题
2.数学思想：
体会分类与整合思想、函数与方程的思想、 数形结合的思想、及划归与转化的思想在 解题 中的重要作用。
故 fx在 R 上单调递增，不可能在 x＝1 处取得极值，
当ab＝＝－4，11 时，经检验知符合题意， 故 a，b 的值分别为 4，－11.
二、函数的最大值与最小值 1．利用导数求函数最值的方法 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲 线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在极值点或区间端点处取得． 例如，如图，曲线为函数f(x)的 图象，定义域为[a，b]，则易得 f(x2)，f(x4)是极大值，f(x1)，f(x3)， f(x5)是极小值，比较极大值及端点 的函数值知函数的最大值是f(b)，比较极小值及端点的函数值 知函数的最小值是f(x3)．
三次函数的单调区间和极值
求函数极值的步骤：
（1）求定义域； （2）求导数； （3）求驻点，即求方程 f '(x) 0 的根； （4）列表：用 f '(x) 0 的根将定义域
分成若干区间，列表； （5）求极值：由各个区间内导数的符
号判断极值的情况。
设F(x) ax3 bx2 cx d (a 0) 则F(x) 3ax2 2bx c 方程F(x) 0中 设△=4b2—12ac
• 注意：(1)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值，最小 值步骤：
• ①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；
• ②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的 函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值．
• (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，则可直接 利用单调性法求函数的最值，即若f(x)在[a，b]上递增， 则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上 递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
• (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有 极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能 成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．
(4)开区间上的连续函数不一定有最值．例如y＝
1 x
在区间
(0,1)上是连续的，如图，但在该区间上，函数y＝1x 既没有最大
值也没有最小值．
(5)求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数 的最值时，不需对各导数为零的点讨论其是极大值还是极小 值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可．
3.
选作题：
4.设函数 f (x) x3 9 x2 6x a ,若方程 f(x)=0 有
2
且仅有一个实根，求 a 的取值范围．
变式： （1）若方程 f(x)=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围 （2）若函数y=f(x)图象与直线y=4 有三个不同的交点，求 a 的取值范围
（3）设函数 g(x)=2x+b-a.若f(x)、g(x)图像只有一 个公
导数的图像
a 0时
△<0
y
o
x
△=0
y
o x0 x
△>0
y
x1 x2
oபைடு நூலகம்
x
△≤0时
y=F(x)的大致图像
y
o
x
△>0时y=F(x)的大致图像
y
x2
o x1 x
导数的图像
a 0时
△<0
y
o
x
△=0
y
x0
o
x
△>0
y
x1 x2
o
x
△≤0时 y=F(x)的大致图像
y
o
x
△>0时y=F(x)的大致图像
y
共点，求b的取值范围.
例 2：若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10，试求 a，b 的值．
[解答] f′x＝3x2＋2ax＋b，依题意得ff′11＝＝100，， 即a22a＋＋ab＋＝b－＝39，， 解得ab＝＝－4，11 或ba＝＝－3，3，
由于当 a＝－3，b＝3 时，f′x＝3x2－6x＋3≥0，