话题18：关联速度问题一、刚体的力学性质:讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移BC A 'B 'C '动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．二、相关的速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。

1、如图所示的情况，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，A 端以速度v 做匀速运动，问m做什么运动？有的同学会将绳的速度v 分解成竖直分速度sin v α和水平分速度cos v α，以为木块的速度cos u v α=()u v <．这是错误的。

因为实际上木块并没有一个向上的分速度。

应该将绳端B 实际上的水平速度B v 分解成沿绳方向的分速cos B v v α=和垂直于绳的分速sin B v v α⊥=，v 使绳子缩短，所以v v =，v ⊥使绳子围绕滑轮转动。

因此()cos B B vv v v α=>，而且B v 随着α的增大而越来越大。

2、如图所示，杆AB 沿滑下，A 、B 二端的速度A v 和B v 也是二个相关的速度。

将A v 分解成沿杆方向的分速1A v 和垂直于杆的分速2A v , 将B v 分解成沿杆方向的分速1B v 和垂直于杆的分速2B v . 由于杆的长度不会发生变化，所以11A B v v =，即cos sin A B v v αα=，即tan A B v v α=⊥v B mαv 2A A1B v3、如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速0v 沿水平面向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点．求当AOP α∠=时，AB 杆的速度．分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在A 点接触，杆上A 点速度A v 是竖直向上的，轮上A 点的速度0v 是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图所示，即0cos sin A v v αα=，则0tan A v v α=．故AB 杆的速度为0tan v α(二)、两杆交点的运动两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

1、图)a （中的AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。

当0t =时，60αβ==，试求t 时刻两棒交点M 点的速度和加速度。

本问题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质是两杆的角速度相同，所以0+=120αβ不变，推知M 点的轨迹在正三角形M 外接圆上运动．由此可重点在几何模型上去探求解法。

当0t =时，ABM ∆为等边三角形，因此AM BM l ==，它的外接圆半径l OM R 33==，图()b 。

二杆旋转过程中，α角增大的角度一直等于β角减小的角度，所以M 角的大小始终不变（等于060），因此M 点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移O αβM M 'A Bl()a αβM ABωωlDCαOP ABαOPA 0v ααAv动，因为MOM '∠和MAM '∠是对着同一段圆弧()MM '的圆心角和圆周角，所以2MOM MAM ''∠=∠，即M 以2ω的角速度绕O 点做匀速圆周运动，任意时刻t 的速度大小恒为(2)3v R l ω==向心加速度的大小恒为22(2)a R l ω==2、如图，一平面内有二根细杆1l 和2l ，各自以垂直于自己的速度1v 和2v 在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

参考图，经过时间t ∆之后，1l 移动到了1l '的位置，2l 移动到了2l '的位置，1l '和2l 的原位置交于O '点，1l '和2l '交于O ''点。

1sin v tOO θ∆'=2sin v tO O θ∆'''=在OO O '''∆中：2222cos OO OO O O OO O O ϕ''''''''''=+-⋅因为ϕ角和θ角互补，所以cos cos ϕθ=-OO ''= 因此两杆交点相对于纸平面的速度0OO v t ''==∆ 不难看出，经过t ∆时间后，原交点在1l 上的位置移动到了A 位置，因此交点相对1l 的位移就是AO ''，交点相对1l 的速度就是：1()AO O O v t''''+'=∆21(cot )sin v tv t tθθ∆∆⋅+=∆12cos sin v v θθ+=用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度212cos sin v v v θθ+'=因为t ∆可以取得无限小，因此上述讨论与12,v v 是否为常量无关。

如果12,v v 是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

3、如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为321：：，顶点3A 以速度v 沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点2B 的速度.分析与解:顶点2B 作为21B A 杆上的一点，其速度是沿21B A 杆方向的速度1v 及垂直于21B A 杆方向速度1v '的合成；同时作为杆22B A 上的一点，其速度又是沿22B A 杆方向的速度2v 及垂直于22B A 杆方向的速度2v '的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图显见，21v v '=，12v v '=．故顶点2B 的速度可通过1v 、2v 速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得112A v =，222A v =， 于是可得2B v ==由几何关系可知 123010203::::3:5:6A A A v v v A A A A A A ==A 2A 2则12A v v =， 256A v v =，由此求得2176B v v =． 上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点2B 的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图O 所示，若以1A 、2A 点为基点，则2B 点作为21B A 杆上的点，其速度是与1A 点相同的平动速度1A v 和对1A 点的转动速度1n v 之合成，同时2B 点作为22B A 杆上的点，其速度是与2A 点相同的平动速度2A v 和对2A 点的转动速度2n v 之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得 21111222cos135B A n A n v v v v v =+- 而由矢量图可知1212()2n A A v v v =-，代入前式可得2176B v v =． 两解殊途同归．4、如图所示，水平直杆AB 在圆心为O 、半径为r 的固定圆圈上以匀速u 竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M 的速度，设OM 与竖直方向的夹角为ϕ．分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为ϕ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度u 沿杆方向与圆圈切线方向分解，则M 的速度为sin uv ϕ=． 1A 2A A v 2A v 1v 2A v 2B v 2n v 1n v 2B MBOϕuϕ乙5、如图所示，直角曲杆OBC 绕O 轴在如图所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA 滑动．已知10OB cm =，曲杆的角速度0.5/rad s ω=，求060ϕ=时，小环M 的速度．分析与解本题首先应该求出交叉点M 作为杆BC 上一点的速度v ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿OA 方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆OBC 以O 为轴转动，故其上与OA 直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径OM 、大小是10/v OM cm s ω=⋅=．将其沿MA 、MB 方向分解成两个分速度，如图所示，即得小环M 的速度为tan 103/M MA v v v cm s ϕ==⋅=．6、如图所示，一个半径为R 的轴环1O 立在水平面上，另一个同样的轴环2O 以速度v 从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A 的速度A v 与两环中心之距离d 之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.分析与解轴环2O 速度为v ，将此速度沿轴环1O 、2O 的交叉点A 处的切线方向分解成1v 、2v 两个分量，如图，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A 的速度即为沿对方速度分量1v ．注意到图中显示的几何关系便可得22222sin 24()2A v vv d R dR θ===--.三、关联速度问题是运动的合成和分解的一个基本模型关联的本质是转动和平动的关联，分析时既要考虑运动的独立性原理，又要考虑物体OϕAMCBOϕAMCMB v ϕMAv v1O 2O dAv1O 2Ad1v 2v θθ实际的运动轨迹，还要考虑连绳的长度，建立好正确的几何模型对解题至关重要。