概率论与数理统计复习资料第一章随机事件与概率1.事件的关系AuB AuB AB A-B A Q AB =(/>(1)包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A ,记作AuB(或Bz)A)・(2)相等：若两事件A与〃相互包含，即AnB且Bn A,那么，称事件A与B相等，记作A = B .(3)和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作AuB；“n个事件观出•…，人中至少有一事件发牛”这一事HI J A件称为鱼…，人的和，记作Au入5・・uA”(简记为* ').(4)积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作AcB(简记为AB)；a n个事件观出，…，心同时发牛”这一事件称为nA,血.…，人的积事件，记作(简记为A4・・4或以').(5)互不相容：若事件A和B不能同时发生，即心©,那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件观出•…，人中任意两个事件不能同时发生，即A"广0(iwi<jw 儿)，那么，称事件A.谡…，4互不相容.(6)对立事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB = Q 且AuB二Q,那么，称A与B是对立的.事件A的对立事件(或逆事件)记作入(7)差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A 与B的差事件，记作A-B(或人用)・2•运算规则(1)交换律：AuB = BuA AB = BA(2)结合律：(AuB)uC = Au(BuC) (AB)C = A(BC)(3)分配律(A u B)C = (AC) u (BC) (AB) uC = (Au C)(B u C)(4)德［摩根(DeMorgan)法则：AuB = AB AB = AuB3.概率P( A)满足的三条公理及性质:(1)0 < P(A) < 1 (2) P(Q) = 1(3)对互不相容的事件£,凡，…,有P(|J 4) = JP(A k) (n可以取co) k=[Bl(4)P(0) = O (5) P(A) = 1 - P(A)(6)P(A-B) = P(A)-P(AB),若AuB,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(A)< P(B)(7)P(A u B) = P(A) + P(B) - P(AB)(8)P(AufiuC) = P(A) + P(B) + P(C) 一P( AB) - P(AC)一P(BC) + P(ABC)4.古典概型：基本事件有限且等可能5.几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间屮的区域)，且样本空间屮每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为= A的长度(或面积、体积)(，一样本空间的的长度(或面积、体积)•6.条件概率(1)定义：若P(B)> 0,则P(A|B)二巴也P(B)(2)乘法公式：P(AB) = P(B)P(A | B)若耳，场,・・・3”为完备事件组，P(BJ>0,贝ij有(3)全概率公式：P(A) =》P(BJP(A | BJ/=!(4)Bayes 公式：P(B* | A) = £(拔)卩(川伐)£P(BJP(A\BJ/=!(5)贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A) = p(0<p<l)f则在口次重复独立试验中・，事件A恰发生£次的概率为巳伙)二7 //(I —"1,20,1,…小k7.事件的独立性：A, 3独立o P(AB) = P(A)P(B)(注意独立性的应用)下列四个命题是等价的：(i)事件A与B相互独立；(ii)事件A与用相互独立;(iii)事件広与B相互独立;(iv)事件A与B相互独立.8、思考题1 . 一个人在口袋里放2盒火柴，每盒斤支，每次抽烟时从口袋屮随机拿出一盒(即每次每盒有同等机会被拿到)并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了•问：“这时另一盒中恰好有加支火柴”的概率是多少？2・设一个居民区有〃个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口都办理所有业务.c太小，经常排长队；c•太大又不经济.现设在每一指定时刻，这〃个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是P・设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过加”这个事件的概率要不小于Q (例如，Q = 0・&0・9或o.95),问至少须设多少窗口？3.设机器正常时，生产合格品的概率为9 5%,当机器有故障时，生产合格品的概率为5 0 %,而机器无故障的概率为9 5%.某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X =xj = Pi满足(1) p,. > 0 , (2)工戸=1I(3)对任意DuR, P(X E D)= ^Pii: DJ»+oof(x)dx = 1:-oo(2)P(a<X <b)=\ f(x)dx； (3)对任意aw R, P(X =a) = 0Ju3.儿个常用随机变量标准正态分布的分布函数记作①(X),即CX ] ----①⑴=I ——e 2 dt①(兀) '十问t ,当出“no时，①(%)可查表得到；当xvo时，①⑴可由下面性质得到①(I兀)=1 一①(X)设X~N(“,k),则有F⑴=①(二)P(a<X<b) =①(匕Q - ①(伫Z)er c •4.分布函数F(x) = P(X<x),具有以下性质(1)F(-oo) = 0, F(+oo) = l； (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a<X<b) = F(b) - F(a),特别P(X > a) = l-F(a)；特别的P(X = a) = F(a) - F(a -0)(5)对离散随机变量，F(Q =工卩汀/：Xf <x(6)对连续随机变量，F(x) = f 为连续函数，且在.f(x)连续点上，F (x) = f(x)J—85.正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布2(0,1)的分布函数，则有(1)①(0) = 0.5； (2)①(一兀)=1 一①⑴；(3)若X 〜N(“Q2)，则F(Q二①(^^)；(7(4)以％记标准正态分布2(0,1)的上侧a分位数，则P(X >%) = a = l—①(血) 6.随机变量的函数Y = g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则/y(y) = /x (gT (y ))l (gT ()‘))'l ，若不单调，先求分布函数，再求导。

7、思考题1・某地有2 5 0 0人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费1 2元 若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取2 0 0 0元.设该地人口死亡率 为1・5 %,求保险公司获利不少于1 0 0 0 0元的概率.第三章随机向量1.二维离散随机向量，联合分布列P(X =x i ,Y = y j ) = Pij ,边缘分布列P(X =“)= 〃，，P(Y = yj ) = p .有(1) p.. > 0 : (2)工為=1；⑶卩卜=口甘，P.j = S Pij U J j2. 二维连续随机向量，联合密度/(x, y),边缘密度人(兀)，人(刃，有⑴ /(x,y) > 0 ； (2)匚匸/(S)i ；⑶ P((X,K)e G) = /(x,y)dxdy ；⑷ fx (^)= 1/r (.y) = J f(x,y)dxJ —8J —CO3. 二维均匀分布/(x,y) = tG)，(X ，y )GG,其中加(G)为G 的面积 0,其它4. 二维正态分布(X,Y)〜Ng 屮2Q ：Q 纭P)，其密度函数(牢记五个参数的含义)5.二维随机向量的分布函数F(x,y) = P(X <x,Y<y)有(1) /(x, y) >0, -oo<x,y<+oo.-“JO -坨)6 6I 0-“2)2]2 兀P ，(—“J?⑵匸匸/(S)如尸1;(3)设(X』)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线厶，有p((x,y)GL)= o.(4)关于兀y单调非降;(2)关于兀y右连续;(5)F(X,-8)= F(-8,y) = F(-8,—g) = 0 ；(6)F(+8,+8)= ], F(X,+OO)=F x (x), F(+x, y)=耳(y)；(7)P3 < X <x2,y} v 丫5旳)=尸(兀2*2)一尸(兀1，力)一尸(兀2，》'|)+ 尸(西，〉'1)；(8)对二维连续随机向量，伽刃=空¥卫dxdy(9)设(X』)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有P((X,r)eP) = jj/(x,jWyD •6.概率密度/(兀)及连续型随机变量的性质(1 ) /⑴》0;(2)匸•/'(皿=1；(3 )连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在FCr)的连续点处有F'(x) = f(x)；(4)设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c, P(X=c) = 0;(5)设/(兀)是连续型随机变量X的概率密度，则有P(a<X<b) = P(a<X <b) = P(a<X<b) = P(a<X< b)eb_ I f(x)dx7.二维连续型随机变量(X』)的边缘概率密度设/(兀,刃为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为fx（x） =匸/（兀,y）dyY的边缘概率密度为f+8fg y）dx8. 二维连续型随机变量(X ，Y)的条件概率密度设/(兀, >')为二维连续型随机变量的联合概率密度，则x 在给定丫 = y 的条件 卜•的条件概率密度为/xiy(xly)-oo<x<+oo/心)，其中 /y (y)>0；Y 在给定X 二兀的条件下的条件概率密度为Aix（yl^） =r 卫)'其中AU)>o9. 常用的二维连续型随机变量(1)均匀分布如果(XV)在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度/(x, y) = < G 的面积' 0,⑵ 二维正态分布“ 如果(X 』)的联合概率密度] （兀_〃l ）2 2Q （X_H ）（y_“2）|（X_#|）2 2（1一 p 叽 <T,2 （702 加则称(XM)服从二维止态分布，并记为（X,Y ）~N （“],“2Q ；Q ；，P ）如果(X,Y)~N(/Z],//2，q2,&,p),则 X 〜N (禺,氏),Y 〜N(〃2，&),即二维 正态分布的边缘分布还是正态分布.7. 随机变量的独立性 X,丫独立o F(x,y) = Fx (x )"(y ) (1) 离散时 X,丫独立o Pij=Pi P.j (2) 连续时 独立« f(x,y) = f x (x)f Y (y)(3)二维正态分布X 』独立0 p = 0,且X + Y 〜N("+//2Q ：+W )8. 随机变量的函数分布r+co 「4*00(1) 和的分布 Z = X + Y 的密度 fz®= [ /(z-y,y)〃y = [ /(x,z-x)dxJ —8J->CO以上两个公式也称为卷积公式.(2) 最大最小分布 Z = max(X,y )的分布函数为巧⑵=塢⑵耳⑵（x,y ）wG;其余.y ） = -------- exp2阿込Jl_/r特别有下面的结论：设X~N(MQ；),Y ~ NgQ》,且X与Y相互独立，则X + Y 〜"(M+aB + b) 9、思考题1・设随机变量(XM)的概率密度为门、向严匕%>0,y>0,0,其它.求P(X>3D.2 .若X与Y为相互独立的分别服从［0,1］上均匀分布的随机变量，试求Z = X+Y的分布密度函数.第四章随机变量的数字特征1.期望⑴离散时E(X) =工也，E(g(X)) =》g(M ；f+<»^+©O连续时E(X)= xfMdx, E(g(X)) = J g(x)f(x)dx ；J—CO J—8⑶二维时E(g(X,Y)) =》ga•，儿)心，E(g(X,Y)) =匸匸g(x, y)f(x, y^dxdy • •2.数学期望的性质(1)E(c) = c (其中c为常数)；(2)E(kX +b) = kE(X) + b (k,b 为常数);(3)E(X + Y) = E(X) + E(Y)；⑷如果X与相互独立，则£(xr)= £(x)£(r).3.方差(1)方差P(X) = E(X-E(X))2 =E(X2)-(EX)2,标准差(r(X) = J D(X)；(2)D(C) = 0, D(X+C) = D(X)；(3)Z)(CX) = C2Z)(X)；(4)X,Y独立时,D(X + y)= D(X) + D(y)当X为连续型随机变量，其概率密度为/(X),如果广义积分收敛，则x的方差为D( X) = J a (兀一E(x))2j\x)dx3.协方差(1)Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y一E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)；(2)Cov(X,Y) = Cov(Y,X), Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)；(3)Cov(X l +X2,Y) = C OV(X},Y) + Cov(X2, Y):(4)C“(X,Y) = O时，称X,Y不相关，独立=＞不相关，反之不成立，但正态时等价；(5)D(X + y)= D(X) + D(Y) + 2C"(X,Y)4.相关系数P XY =:;;寫;;；有Sxy 1^ I » I P XY 1= 1 O%", P(Y = aX + /?) = 1 相关系数“紆反映了随机变量X与YZ间线性关系的紧密程度，当Sxy I越大，X 与YZ间的线性相关程度越密切，当如时，称X与Y不相关.相关系数具有下列性质：(1)I P XY I— 1 ；(2)的充要条件是p(y = dX+b)= i,其屮"为常数；(3)若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即Pxy=^f但由Pxr=°不能推断X与丫独立.(4)下列5个命题是等价的：(i)呛=0；(ii)cov(x,r)= o.(iii)E(XY) = E(X)E(Y)；(iv)D(X + Y) = D(X) + D(Y))；(v)D(x-r)= o(x)+ D(y).利用协方差或相关系数可以计算D(X±y)= D(X) + D(y)±2cov(X,Y) = D(X) + D(y)±2pxyjD(X)jD(y)5.随机变量X的◎介原点矩定义为E(X k).随机变量X的k阶中心矩定义为£|(X-£(X)/ ]1；随机变量(X,y)的伙J)阶混合原点矩定义为E(XV)；随机变量(X, Y)的伙,/)阶混合中心矩定义为E[(X- E(X)y (Y - E(y))z ]. 一阶原点矩是数学期望E(X)；二阶中心矩是方差D(X)；(1」)阶混合中心矩为协方差cov(X, Y).9.常用分布的数字特征(1)当X服从二项分布B(1 P)时，E(X) = np, D(X) = np(l-p)(2)当X服从泊松分布时，E(x)= a, D(X)=A9(3)当X服从区间⑺小)上均匀分布时，E(X)冲D(X) = ^2 12(4)当X服从参数为2的指数分布时，E(X) = » D(X) = *(5)当X服从正态分布时，E(X) = ^D(X) = cr\(6)当(X,Y)服从二维正态分布N(“],〃2'5 0 ,p)时,E(X) = % D(X) = a12;COV(X,Y)=0702，P XY =P10.分位数设X为任意一个随机变量，对于° V"V1,如果实数C满足P(X<c)> pllP( X>c)>l-p f则称c是X (或X所服从的分布)的卩分位数，记作乙・当P=2时，称也为中位数.对连续型随机变量X,记其密度函数为/«,如果X的值域是某个区间，则匸f{x)dx =三、思考题1.设X 〜N(“Q2),求2.设X的密度函数为.^―兀>0/(x) = <a2，‘⑺为正常数)0, x<0."丄记x,求丫的数学期望E(Y)・3.一学徒工用车床接连加工10个零件，设第Z个零件报废的概率为1777(21,2,…,10),求报废零件个数的数学期望.第五章大数定律与中心极限定理1 • Chebyshev 不等式(切比雪夫不等式)p{\x-E(X )i>E }<或BI X -E (X )i<E }STE~2. 大数定律1) .切比雪夫大数定律设随机变量X|,X2，・・・,X”,・・・，相互独立，数学期望E(XJQ(XJ,心1,2,…， 都存在，II 方差是一致有上界的，即存在常数c,使得》区)"，心1,2,・・・”・・, 则对于任何正数£,有［〃 1 nlim Al —工 X 厂—工 £(X /)|<^) = 1 E n /=| n /=12) .辛钦大数定律(独立同分布大数定律)设随机变量/,X2，・・・,X 〃,・・・相互独立且同分布，并具有有限的数学期望〃和 方差k,则对任何正数£,有3) ・伯努里大数定律设随机变量则对任意正数£,有 lim P(\^-p\< £) = 1/?—><*>>73•中心极限定理设随机变量X],X2，・・・，X 〃独立同分布E(XJ = y ，D(X.) = o-2(2) 棣莫弗•拉普拉斯中心极限定理设随机变量(仏p),则对任意一个实数.有 lim P(- n = < %) = O(x)i JripQ 一 p这个定理的直观意义是，当斤足够大时，服从二项分布的随机变量岭可认为 近似服从正态分布N5P ，“(1 - P)) • 思考题・用切比雪夫不等式确定当掷一均匀硕币时，需投多少次才能保证使得正面 出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%,并用正态逼近计算同一问题.y %,〜“皿心), =『近似厂/=!X Xj T 屮或七矿护n/=12・根据遗传学理论，红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和黄果植株的比率为3： 1,现种槓杂交种432株，试问（1）黃株介于108和117之间的概率;是多少？（2）红株介于315和324之间的概率是多少？（提示：使用中心极限定理计算）第六章样本及抽样分布1.总体、样本（1）当X服从正态分布那（从，）时，称总体X为正态总体。