【习练·破】
(2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,
则= a 2 020 a 2019 (
a 2 010 a 2 009
A.5
B.10
) C.25
D.510
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.
因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,
【类题·通】 1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法 (1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通 项公式求解. (2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
2.利用等比数列的性质解题 (1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的 关系,选择恰当的性质解题. (2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
a
.2
4
(2)×.G=± ab.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________. 【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b= 11=6 4. 答案:4
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10, 所以a8·a9·a10·a11=102=100. 答案:100
且a1<a6,解得a1=4,a6=5,
所以q5=5
4
,a11=a1q10=412×65
=25
4
.
2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满足: a3a7=2a42,所以 a=52 2,a42 所以q= 2 , 因为a3=1 , 所以a2=1 = 2.
22
【内化·悟】 用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质? 提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.
关键能力·素养形成
类型一 等比中项及其应用
【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3- 5,c=3+ 5,则b=( )
A.2
B.-2
C.±2
D.4
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值. 2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值. 【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列, 则b2=ac=(3-5 )(3+ 5)=9-5=4,则b=±2. 2.选B.因为an=(n+8)d,又因为a2k =a1·a2k, 所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d, 解得k=-2(舍去)或k=4.
若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以a2 a=1
b2
=1 . 1
2 2
类型二 等比数列性质的应用
【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11= ( )
A.5
B. 4
25
C.25
D. 16
4
5
2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2
【加练·固】
已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求 a2 a1的值.
b2
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,
则a2-a1=d=13 ×[(-4)-(-1)]=-1, 因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
【思考】 等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗? 提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3qa=53 .
3.等比数列的单调性 递增数列 递减数列
a1>0 _a_1<_0_
a1>0 a1<0
_q_>_1_ 0<q<1 _0_<_q_<q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等比数列{an}中a2·a6=a
2.
8
(
)
(2)若G是a与b的等比中项,则G= ab . ( )
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. ( )
提示:(1)×.a2·a6=
a
2 4
,a3=1,则a2=
(
)
A. 1
2
C. 2
B. 2
2
D.2
【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.
2.利用a3a7=
a
2 5
求出q,进而求出a2.
【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,
a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,
所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,
第2课时 等比数列的性质
必备知识·素养奠基
1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=± xy . 2.等比数列的项之间的关系
等比数列{an},m,n,p,q∈N+
两项关系
an=_a_m_q_n-_m
三项关系
若 m+n=2p an·am=a_2p____
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=_a_p·_a_q
【习练·破】 -1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________. 【解析】设该等比数列的公比为q, 因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项, 所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5, 又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125. 答案:-125
所以aa112q5a1q250，12， 解得aq1= 12，, q=5 5 ,
所以 a 2 020 =a 2019
a 2 010 a 2 009
【内化·悟】 等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢? 提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
【类题·通】 应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示; (2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是 a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.