傅里叶变换的不足
连续功率谱分析结果
只出现了显著周期10
• 傅里叶变换可以把复杂的时间信号转换到频率域 中，然后用频谱特性去分析和表示时域信号的特 性
• 然而傅里叶变换是“全局性”的，不能反映局部 区域上的特征 • 虽然从傅里叶变换能清楚地看到一个信息包含的 每一个频率的多少，但很难看出不同信号的发射 时间和发射的延续时间
• “若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错， 这一错误就会毁了整个傅里叶变换。相位的错误 是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误， 你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了 。” —— Y. Meyer
• 实际上，人们需要了解某些局部时段上所对应的 主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的信 息出现在哪些时段上，也就是需要了解时-频局部 化要求
– 增大s
• 在时域上扩大窗口=在频域上缩小窗口
– 减小s
• 能否在时域和频域上同时缩小（或扩大） 窗口？
t g s G s s
• 减小s
– – – – sw减小 突出低频 需要长时间序列 较大时间窗
• 增大s
– – – – t/s减小 较小时间窗 仅有短时间序列 得到高频
其中Δt为取样间隔，n为样本量
• 第二步：做两重循环，一个是关于时间参数b的循环，另 一个是关于频率参数a的循环
二进方法
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
• 条件 – a按2的整数次幂变化，即 – b与a成正比，即 • 计算式为
• Torrence(1998)定义e折时间为两端受影响的区域 • 对于Morlet小波和墨西哥帽小波而言，小波的e折时间是 20.5a
• 对每一个尺度参数a，当平移参数b落入距信号序列两端e 折时间范围内时，结果应该放弃
小波分析中的误区
• 该时间序列的周期为10年和20年 • 该时间序列在前40年以10年周期的波动为主，在后40年则 以20年周期的波动为主
g t dt 0 G 2 d
的小波即为基本小波或者母小波
• 将母小波伸缩和平移之后得到的函数族
1 g a ,b t a
称为分析小波
t b g a
a R ,b R

• a为伸缩参数或尺度参数，取正实数
• 核函数及其傅里叶变换
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
• 在时域上缩小窗口=在频域上扩大窗口
– 当a>1时，沿时间轴方向拉伸 – 当a<1时，沿时间轴方向压缩 – 因子1/a1/2是为保持伸缩之后能量不变
a 1
a 1 a 1
2 4
• b为平移参数，可以取任意实数
一些著名的母小波
• 1、哈尔(Harr)小波：
1, g t 1, 0, 1 0t 2 1 t 1 2 otherwise
如何利用小波分析来进行科学研 究？
例一
大气低频振荡的周期是多少？ 10-90天
收集资料和资料预处理
选择诊断方法
Morlet小波
科学综合和诊断
例二
• 收集资料和资料预处理
• 选择诊断方法
k 2 n
a 2 k b 2 k n
WFx k 2 t x jt g * 2k jt n
j 1


绘图
• 以b为横轴、以a为数轴绘制小波能量谱图
– WF(a,b)/a2
• 为何不直接绘制小波功率谱WF(a,b)图？
– 在功率谱分析中，不同频率的波动所占时域宽度相同 – 在小波分析中，不同尺度a所占时域宽度不同
测不准原理
小波
• 具有以下两个性质的窗口函数g称为小波
g t dt 0 G 2 d
① g(t)必须时正时负的波动，否则g(t)的积分 不会为零 ② G(w)在w=0处的值必须为零，即G(0)=0
g(t)不是小波的个例
如何解决？
• 傅里叶变换缺陷的来源
– 傅里叶变换的核函数(正弦、余弦函数)在时域 是无限的
• 如何改进核函数，使其能够集中反映时域 上某一局部的信息？
– 将正弦、余弦函数乘以一个时域内衰减很快的 函数
窗口傅里叶变换
• 定义
~ it F , xt g t e dt
• 对低频部分（较大a）而言，时域宽度较大，因而总的能量也 可能较大 • WF(a,b)/a2近似可以理解为功率密度
小波功率谱检验
• 如何进行连续功率谱检验？
– 红白噪声
• 小波功率谱是否显著，用红噪声或白噪声 标准谱进行检验
– 当r(1)>0.1，则用红噪声谱检验 – 当r(1)≤0.1，则用白噪声谱检验
d 2

G 2 d 2cg0 Nhomakorabea
• 因而逆变换公式为
1 xt cg

0
1 a 2 WFx a, bga,b t dbda
1 WFx a, b a
t b xt g a dt

• 小波变换是用信号x(t)和小波ga,b(t)表示出来

G
2


d
– a是频率参数 – b是时间参数
• 当基小波g(t)是实的，小波系数WF(a,b)也是实的 • 此时小波变换公式为
1 WFx a, b a t b xt g a dt

• 在这种情况下，有
cg

G
2



原因
• 傅里叶变换对
1 xt F eit d 2 F xt e it dt
9.13 9.15
• 频域过程F(w)的任一频率组成部分的值：由时域 过程f(t)在(-∞,∞)上决定的 • 时域过程f(t)在任一时刻的状态：由F(w)在整个 频域(-∞,∞)的量决定
• 窗口函数g(t)
– 实函数 – 能量主要集中在原点附近 • 提取了在t=τ附近的时域信息
核函数
g t e it g t 0 e i0t
G 0 ei 0 0 • 核函数的傅里叶变换为
• 因而有
~ F 0 , 0 xt g t 0 e i0t dt
• 小波变换能否用x(t)和ga,b(t)的傅里叶变换表示 出来？
WFx a, b a 2



F G* a eib d
不同频率的波动组合
不同尺度、不同位置的小波组合
a b
小波能量谱
• 能量守恒
1 x t dt cg
2




WFx a, b
• 通过离散化方法求解小波功率谱WFx(a,b)
– 一般方法（连续小波变换） – 二进方法（离散小波变换）
一般方法
1 WFx a, b a t b xt g a dt
*
• 第一步：针对某一频率参数a和时间参数b
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
1 2



F G 0 ei 0 0 d
• 提取了在w=w0附近的频域信息
窗口的调整
• 平移
g t g t
t g t • 拉伸 g s
• 平移和拉伸
t g t g s
• 第一步：计算理论功率谱
1 2 2 P Pa 0.05 s x 2
• 满足自由度为2的X2分布，其中
1 r 1 Pa 2 1 r 1 2r 1cos2a n
2
• 对于白噪声谱Pa=1
• 第二步：如果WFx(a,b)>Pa，则小波功率谱是显著的
黑色实线和黑色虚线 分别表示什么？
1
(t )
1 2
0
1
1
• 2、Daubechies小波
• 是否要求小波具有对称性？
2、Coiflets小波
3、Symlets小波
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
g t 1 t

2

1 e 2
t2 2
气象上常用
小波变换
• 定义
1 t b WF x a, b xt g * dt a a 1 xt 1 a 2 WFx a, b g a,b t dadb cg cg
小波的时域特征
• “小波”不是指其波动的幅度很小，而是 指其持续时间很短 • 当t→±∞时，要求g(t)速降至零 • 小波是持续时间很短的衰减振荡，在时域 内是局部的
小波的频域特征
• 当w→±∞时,要求G(w)速降至零
• G(w)具有带通滤波器的频率特性 • 小波在频域内也是局部的
母小波
• 满足
头部影响
• 因为实际的信号序列总是有限长度的，当平移参数b逐渐 接近信号序列的两头时，WF(a,b)的估计误差逐渐增加 • 为了使b接近序列的两端时还能计算WF(a,b)，一般在序列 的头和尾外侧补上足够多的零，或者在头尾的外侧用头尾 内侧的值对称的延伸
• 但是延伸的毕竟不是真实的信号，在两端WF(a,b)逐渐变 的不可信
2
da db 2 a
• 小波能量谱定义为：
E a, b

1 2 WFx a, b cg a 2
•