也可简写为:
' Rot(z, ) Rot(z, ) s c 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0 0 0
Rot(x, ) 0 c s 0 0 s c 0
0 0 0 1
c 0 s 0
Rot( y, )
0
1 0 0
s 0 c 0
0
0 0 1
点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况kx,ky,kz,
图中矢量ν的方向用(4×1)列阵可表达为：
a b c 0T
a cos,b cos,c cos
矢量ν坐落的点O为坐标原点，可用方向用 (4×1)列阵可表达为：
0 0 0 0 1T
例：用齐次坐标写出下图矢量u、v、w的方向列阵：
90o 45o 45o
矢量 u: cosα=0, cosβ=0.7071067, cosγ=0.7071067 u=[0 0.7071067 0.7071067 0]T
45o 90o 45o
矢量 u: cosα=0.7071067, cosβ=0, cosγ=0.7071067 u=[0.7071067 0 0.7071067 0]T
60o 60o 45o
矢量 u: cosα=0.5, cosβ=0.5, cosγ=0.7071067 u=[0.5 0.5 0.7071067 0]T
z有b=一0。个Z3B0轴o的与偏画转面，垂试直Y写B，的出坐方表向标矩示系阵刚{：B体o}==相[[位c0o.8对s姿1626固0的0o .5定c坐0o0s坐3标00o.标0系0co0系{s90B0]{)ToA的0}]T
=[-0.500 0.866 0.000 0]T
(4×4)矩阵表达式：ZB 的方向矩阵：α=[cos90o cos90o cos0o 0]T
例：单臂操作手，并且手腕也具有一个旋转自由度。手部
起始位姿矩阵已知。若手臂绕Zo轴旋转+90o，则手部到达
分别为k矢量在固定参考系坐标轴x、y、z上的三个分量，
且： kx2+ky2+kz2=1
kxkxvers c kykxvers kzs kzkxvers kys 0
Rot(k, ) kxkyvers kzs kykyvers c kzkyvers kxs 0
k
x
k
z
vers
0
ky
s
kykzvers kxs
zo 1
0.000
0
0.000 0
1.000 0
0.0
1
2、手部位置和姿态的表示
机器人手部的位置和姿态 也可以用固连于手部的坐标
系{B}的位姿来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向矢量α称为接近矢量，指 向朝外。
二手指的连线为YB轴， YB轴的单位方向矢量0称为姿态 矢量，指向可任意选定。
s in
tan
12R(o(zoznnn0axzyya)y2)n02xzyx
(axx y
00nz )2
(ny
(aox0yz nza10)z21(ny
ox )2 ox )2
k x
oz ay
2 s in
与平移变换一样，旋转变换算子一般 旋转变换算子不仅仅适用于点的旋转
k y
ax nz
第二章 工业机器人运动学
连杆 坐标系固联关节 齐次坐标系 正解 反解
机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆 所组成。我们把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节 上，可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置 和方向。
齐次变换具有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之 间的关系，所以常用于解决运动学问题。已知关节运动 学参数，求出手部运动学参数是工业机器人正向运动学 问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求 解。
XB轴与YB轴及ZB轴垂直， XB轴的单位方向矢量n称为法
向矢量，且n=o× α 。
手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐
标系{B}原点的矢量p，手部的方向矢量为n、o、
α 。于是手部的位姿可用(4×4)矩阵表示为：
nx x x px
T [n
p] ny
y
y
p
y
n0z
z
0
z
0
pz 1
2 s in
k z
ny ox
2 s in
变换，而且也适用于坐标系的旋转变 换计算。若相对于固定坐标系进行变 换，则算子左乘；若相对于动坐标系 进行变换，则算子右乘。
例：已知坐标系中点U的齐次坐标u=[7 3 2 1]T，将此点绕 Z轴旋转90。，再绕y轴旋转90o，求旋转变换后所得的点W。
机器人的运动学可用一个开环关节链来建模，此链由数 个刚体(杆件)以驱动器驱动的转动或移动关节串联而成。
1)对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角矢量求 机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。
开环关节链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安 装着工具，用以操作物体或完成装配作业。关节的相对运 动2导)已致知杆机件器的人运杆动件，的使几手何定参位数于，所给需定的机方器位人上末。端在执很行多器机相 器对人于应 参用考问坐题标中系，的人期们望感位兴置趣和的姿是态操(位作姿机)末，端机执器行人器能相否对使 于其固末定 端参执考行坐器标达系到的这空个间预描期述的。位姿? 如能达到，那么机器 人有几种不同形态可满足同样的条件?
刚体的姿态可由动坐标 系刚的体坐Q标在轴固方定向坐来标表系示。
O令XnY、Z中o、的a位分置别可为用X′齐、次y
坐′标、形z 式′的坐一标个轴(的4×单1位)列方 阵向表矢示量为，：每个单位方向矢 量在固定坐标系上的分量 为动坐标系各xo 坐 标轴的方 向余弦，p 用齐yo次 坐标形式 的(4×1)列阵z1o 分 别表示为：
机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运 动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动 的力和力矩。
就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数， 特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿 态之间的关系。
运动学就涉及到机器人空间位移作为时间函数的解析 说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节变量空 间之间的关系。
在选定的直角坐标系{A},空间任一点P的位置可用 3×1的位置矢量AP表示。
px
A
p
py
pz
二、齐次坐标
如用四个数组成(4×1)列阵
px
p
pyBiblioteka 1pz表示三维空间直角坐标系{A}中点p，则列阵[px py pz 1]T称为三维空间点p的齐次坐标。
齐次坐标的表示不唯一：
px a
例：手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体， 写出表达该手部位姿的矩阵式。
因为物体Q形心与手部坐标系 0`X`y`z`的坐标原点0’相重合， 所以手部位置的(4x1)列阵为：
p [1 1 1 1]T
手部位姿可用矩阵表达为：
别Y用`轴单轴矢与位T手方量Z矢部向n`来[轴量n坐可表的o标 用和示方系单α：向来位X`可表分p示] ：n:0001::
p
py
b
1pz
c w
三、坐标轴方向的描述
i、j、k分别是直角坐标系中x、y、Z坐标轴的单位
向量。若用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向，则
规定：
X 1 0 0 0T Y 0 1 0 0T Z 0 0 1 0T
(4×1)列阵[a b c o]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1， 则表示某轴(某矢量)的方向； (4x1)列阵[a b c w]T中第四个元素不为零，则表示空 间某点的位置。
0 1 0 1
A 1 0 0 1 0 0 1 1
0
0
0 1
写出坐标系{A`} {A``}的矩阵表达式
动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
1 0 0 1
Trans(x, y, z) 0 1 0
2
0 0 1 2
0 0 0
1
{{AA`″}坐}坐标标系系是是动动系系{A{}A沿}沿固自定身坐坐标标系系作作平平移移变变换换得得来来的的，，
1 900o , 1 180o , 900
nn00xyx xcc001oo,ss111,yy
0 0,z 0,1z
0 1
n0z c0os1 0
2.2 齐次坐标及换算
一、平刚移体的的运齐动次是变由换转动和平移组成的。为了能用同
一矩阵表示转动和平移，有必要引入x'(4×x 4)的x齐次
坐标变换矩阵。
四、动坐标系位姿的描述
动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的 描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述：
1、刚体位置和姿态的描述
机器人的一个连杆可以看成一个刚体。若给定了刚体 上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在 空间上是完全确定的。
n nx ny nz o T o ox oy oz o T a ax ay az o T
32
11 31
00 00 00 1100
00
00 11 00
00
00
11
二、旋转的齐次变换
空间某一点A，坐标为(x，y，z)，当它绕z轴旋转θ角 后至A′点，坐标为(z′y′z′),A′点和A点的坐标关系:
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos
y'
sin
=[0.000 0.000 1.000 0]T
坐标系的位置列阵： p=[10.0 5.0 0.0 1]T
坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为：
nx ox ax xo 0.866 0.500 0.000 10.0