不产生破坏，安全
max [] 产生突然的横向弯曲 而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
工作最大值 < 临界值
10.1.3 三种类型压杆的不同临界状态
10.2 细长杆的临界载荷—欧拉临界力
10.2.1 两端铰支的细长压杆
得 w'' k 2w 0
m
y
B
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
w Asinkx Bcos kx (c) （A、B为积分常数）
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
l
A0 Asin kl 0
例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可得
p
E p
206 109 200 106
100
因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才 能应用欧拉公式计算临界应力。
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr s
FN
第十章 压杆的稳定性问题
§10-1 压杆稳定性的基本概念 §10-2 细长压杆的临界载荷-欧拉临界力 §10-3 长细比的概念 §10-4 压杆稳定性计算 §10-5 压杆稳定性计算示例 §10-6 结论与讨论
10.1 压杆稳定的基本概念
10.1.1 平衡状态的稳定性和不稳定性
1. 稳定平衡
F
F<Fcr
—长度因数
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
Fcr

π2 EI l2
Fcr

π2 EI (0.7l )2
Fcr
π2Biblioteka EI (0.5l )2Fcr

π2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
l
i
cr

2E 2
欧拉公式的另一形式。
只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的 失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的适用范围为
cr

2E 2
p
或写成
E p
令
p
E
p
通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。
λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取 决于材料的力学性能。
对稳定性有一定的影响； （3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响。
4、减小压杆的长度。
5、整个结构的综合考虑。
y

(l) y
iy
.
z

( l ) z
iz
.
y z.
10.6.4、稳定性计算中需要注意的几个重要的问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
数nst= 6，试校核托架的稳定性。 解 考虑杆AB的平衡
2m
1m F
A
MA 0 , FCD sin 2 F 3 0
C
B
1.5 m
FCD 2.5 F 100 kN
D
杆CD截面的惯性半径
F
FAx A
i I d 20 mm
A4
FAy

C
B
FCD
杆CD的柔度
CD
lCD
i

1 2.5 20 103
125
2m
1m F
FAx A
A
C
B
FAy
F

C
B
FCD
1.5 m
D
CD p 杆CD属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力
(FCD )cr

2EI ( lCD )2

2 206 109 ( 804 1012
(1 2.5)2
m
m
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2, )
k2 F kl nπ(n 0,1,2, )
EI
x
F

n2
π2 l2
EI
(n 0,1,2, )
F
令 n = 1, 得
Fcr

2 EI l2
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
F
a)
q
b)
第十章 压杆稳定
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。
失稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下
的变化或破坏过程。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
10.1.2 临界状态与临界荷载 满足强受度压要杆求，即
l ——压杆的柔度（长细比）
i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2,
Iy

A

i
2 y
.
cr 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 （1）大柔度杆
P
Fcr

π2 EI
(l )2
（2）中柔度杆 S P
一端 固定 一端 铰支
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr

2 EI l2
欧拉公式
l
l/4
0.7l
2l
l
l/2 l
l l/4
0.3l
Fcr

2 EI (2l )2
Fcr

π2 EI
(l )2
Fcr

2 EI (l / 2)2
2 EI Fcr (0.7l)2
l—相当长度
.
2EI 2E Fcr (l)2 2 A
1、选择合理的截面形状： I Fcr
l
i
i I A
2、改变压杆的约束形式： 约束越牢固 Fcr 。
3、选择合理的材料：E Fcr
但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大； （2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料
σcr a b 268.4 MPa
丝杠的临界力
Fcr σcr A 337.1MPa
3）稳定性校核 丝杠的工作安全因数
n
Fcr F

337 .110 3 N 80 10 3 N
4.21 nst
4
故丝杠稳定性满足要求。
例题10-3 磨床液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度 l =1250 mm，材料为35
σcr a b
（3）小柔度杆
S
σcr σs
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力
cr

Fcr A

2EI ( l)2 A

2E ( l /i)2
式中，i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
引入符号 λ称为压杆的柔度
钢，s =220MPa，E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直
径。
D
p
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力为
F πD2 p 3980 N 4
活塞杆承受的临界压力为
Fcr nst F 23900N
把活塞的两端简化为铰支座。
活塞杆 d
用试算法求直径
（1）先由欧拉公式求直径
n
Fc r F
nst
10.4.3 压杆的稳定性计算过程
（1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力；
（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。
10.5 压杆稳定性计算示例 例10−1 图所示托架中的杆CD为圆截面杆，材料为Q235
钢，直径d = 80 mm，F = 40 kN。若规定的稳定安全系
欧拉公式 的统一形式
Fcr

π2 EI
(l )2
（ 为压杆的长度因数）
Fcr

π2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
5.讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.
若杆端在各个方向的约束情况不同（如
x y
z
柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳
时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
A
s ( s )
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。