a11 a21
an1
a12 a22 an2
a1n a2n
a11 a12
ann
a1n
a21 a22 a2n
an1 an2
ann
1 0
0
0 1 0
0 0
1
ai12 ai22 ain2 1(i 1,2, , n)
ai1a j1 ai2a j2 ain a jn 0 (i j)
…
2
1
2
2
2
n
……………
… n1
n
2
n
n
0 0
1 0
0
0 1
E
故A是正交矩阵
【例(补)】设A为n阶方阵，n为奇数，且A为 正交阵，A 1。证明：E-A不可逆
证明：因为A为正交阵，有 AA E
E A AA A (A E)A
(A E) A (A E)
(A E) A E (1)(E A) (1)n E A EA 2 E A 0 ,即E A 0 所以，E-A不可逆
问x为何值时,A为正交矩阵
解：要使A为正交矩阵，必须 A 1
2x 0
0
A 0
0
cos 123
sin 123
sin 123
cos 123
2xcos2 sin2 2x
123
123
x1 2
2x
A 0
0
0 cos
123 sin
123
0
sin
123
cos 123
即要证：
i , j
0
1
i j i j
由 1 2 n 1 2 n E
即 1 2 n 1 2 n
1
2
n
1
n×1
2
n 1×n
11 12 … 1n
…
2
1
2
2
2
n
……………
…
n
1
n
2
n
n
n×n
1 0
0
0
1 0
0 0
1
由此可得：
i j
1 0
即
i j i j
所以AB 为正交矩阵
课堂练习：
若n阶方阵A满足 A 1或 A 1 ，
则A为正交矩阵. ×
不充分
反例： A 10 11 ,则 A 1
但
AA
1 1
10
1 0
11
1 1
21 E
所以A不是为正交矩阵
2x 0
0
【例1】设 A 0
cos
sin
123
123
0
sin 123
cos 123
A1 A
AA E
（2）若A为正交矩阵，则 A 1
证明：因为A是正交矩阵， 必要
条件
所以有 AA E
AA E A A A 2 E
A 1
（3）若A为正交矩阵，则A的每一行（每一列） 各元素的平方和等于1，且两个不同行 （列）对应元素乘积之和为零。
证明：设A为正交矩阵 ，则有 AA E，即
同理,由 AA E 可得关于列的结论。
(4) 若A是正交矩阵，则 A1及 A 均为正
交矩阵
显然
(5) 若A、B是n阶正交阵，则AB为正交阵
证明： 因为A、B是n阶矩阵，
所以，AB为n阶方阵，
且由A、B是正交矩阵，有
AA E , BB E
于是
( AB)( AB) BA( AB)
BEB E
当x1 时
2
,x 1 2
1
0
AA
0
cos
0 1 0
sin
0
cos
0 sin
1 0
0 1
0
0 E
123 123
123
0
sin 123
cos 123
0
sin 123
123
cos 123
0
0
1
当 x 1 时，可验证AA E也成立
2
所以，当 x 1 时
因此，1 2 n 是一组标准正交基
充分性：已知 1 2 n 是一组标准正交基
要证A （1
2
）是正交阵
n
因为 1 2 n 是一组标准正交基，有
于是
i j
i, j
1 0
i j i j
AA 1 2 n 1 2 n
11 12 … 1n 1 0
定义4.11 如果n阶方阵A满足
AA E
A1 A
则称A为正交矩阵 例如：E为正交矩阵。因为
EE E
AA E
再如：A
0 1
01 也是正交矩阵。因为
AA 01
01
0 1
01
1 0
0 1
E
问题：如果n阶方阵A满足
AA E A是不是正交矩阵？ 是
正交矩阵的性质：
(1)n阶方阵A为正交矩阵
2
定理4.4 n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A 的n个列向量构成 Rn的一组标准正交基
证明：设
A
a11 a21
a12 a22
an1 an2
a1n a2n
ann
1 2 n
必要性 已知A为正交矩阵，即 AA E
即 1 2 n 1 2 n E
要证1 2 n 是一组标准正交基