单自由度系统
1 力法 例2-8
建立单摆作微小振动的微分方程。
建立广义坐标。单摆偏离平衡位置
的转角θ，坐标零位在铅垂位置，
逆时针方向为正。
隔离体受力分析
由动量矩原理得到
单摆
m l 2 m g l sin 0
sin
（ g l ） 0
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统
2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振动的微分方程。
系统的动能V 势能U
耗散能P
V

1 2
m1
a2

2

2
m
2
a
2

2

1 2
m3
a
2

2
U

1 2
k
1
a
2
2

1 2 k2
4a 2
2

1 2 k3
9 a 2
4
2
P0
由能量守恒原理得到
[（ m 1 a 2 4 m 2 a 2 m 3 a 2 ）
n
ki
i 1
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。
2 等效前后系统势能不变。
串联弹簧
等效弹簧刚度
k
e

Fx x

1 n1
x
n
n
xi
i 1
i 1
Fx ki
n
Fx
i 1
1 ki
k i 1 i
串联弹簧
平动： Fm m x
转动： Tm J
力、质量和加速度的单位分 别为N、kg和m / s 2。
力矩、转动惯量和角加速度 的单位分别为Nm、kg m 2和 rad / s 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振 动微分方程。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统 2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振
动的微分方程。
建立广义坐标。 选θ为 广义坐标，逆时为负， OB静止时θ 为零，则
x1=a θ ，x2=2a θ 。
多质量系统
第2章 离散系统的振动微分方程
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别 为N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的 单位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
ct1e=ct1 / i 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-15
弹簧-杠杆-质量系统
求图示系统对A点的等效质量
等效前系统的动能
V

1 2
m a x 2

1 2
m
b

x l
2
l 2

1 2
ma

4
mb

x 2
等效后系统的动能
Ve

1 2
m
e
x 2
∵ Ve V
me ma 4mb
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-16 把轴Ⅰ等效到轴Ⅱ时盘1的等效惯量J1e
等效前系统的动能
V

1 2
J1

2 1

1 2
J2

2 2

1 2
建立广义坐标。取质量元件沿铅垂 方向的位移作为广义坐标x。原点 在系统的静平衡位置，向下为正。
有阻尼单自由度系统
隔离体受力分析
k(x ) cx mg F(t) mx
由力学原理得到
mx cx kx F(t)
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
原则
•弹性较小而质量较大的构件 → 质量元件
•质量较小而弹性较大的构件 → 弹性元件
•阻尼较大的部分
→ 阻尼元件
•质量、弹性和阻尼均布 → 质量、弹性、阻尼均有的单元
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-1
机组质量集中 为一个质量元 件，弹性支承 简化成并联的 弹簧和阻尼器。
机械振动噪声学
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础 2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
实际系统的离散化
依据
简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和 分析结果的精度要求等
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。
斜向布置的弹簧
等效弹簧刚度
Fx F cos
x方向的力 k x e x方向的位移
情况 1 m>>ms：
等效前
xs xs
/
x
l
y y
(0 yl) dV Ad y
dU dV /2 E2 dV /2
U


l 0
1
x2
EA
2
l2
dy
1 E A x 2 2 l
弹性杆系统
V
1 mx 2 2


l 0
1 2
ms l
d y x y 2 l

1 2
m
ms 3
x 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 1
m>>ms：
xs

x l
y
(0 yl)
等效后
Ve

1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve

1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 2
ke

2
8
k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
多自由度系统 1 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
例 2-18
n个自由度的系统
（1）建立广义坐标。 质量mi 的位移xi，质 量mi静平衡位置为原 点，方向向右为正。

( i 2, 3, , n 1)
Fn (t) c n (x n x n1 ) c n1 x n k n (x n x n1 ) k n1 x n m n xn
整理后用矩阵形式表示为 M x Cx Kx F t
图 2.1 弹性安装的柴油发电机组
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-3
图2.3 柴油机推进轴系 1. 活塞 2. 连杆 3. 曲轴 4. 飞轮 5. 中间轴 6. 螺旋桨
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 质量元件
无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
J1

i
2 2
2

1 2
J
2

2 2
等效后系统的动能
Ve

1 2
J1e
2 2

1 2
J2

2 2
∵ Ve V
J1e J1 / i 2
传动系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 3 ke k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 2 m<<ms： xs
等效前

x sin
y
2l
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位 分别为N、N s/ m和m/s。
力矩、扭转阻尼系数和角速 度的单位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s
第2章 离散系统的振动微分方程
2.2 力学基础 (自学）
自由度和广义坐标 动力学的基本原理
•牛顿第二定律 •质系动量矩定理 •机械能守恒定律 •D’Alembert原理 •Lagrange方程