2 V ( x ) = x12 + x2
选取Lyapunov函数：
显然它是正定的，即满足 而
( x) = 2 x x V 1 1 + 2 x2 x2
V ( x ) > 0 V ( x ) = 0
x≠0 x=0
将状态方程代入上式，化简后得
( x ) = −2a (1 + x ) 2 x 2 V 2 2
定理4-3 设系统状态方程为 数，并且满足：
= f ( x) x
在平衡状态 xe = 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导
( x ) 为半负定；3）除了x = 0 平衡状态外， V V ( x ) 为正定； 2） 1） e ( x) = 0 ( x ) = 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V V 还有
[例4.4.1] 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。
1 = x2 x 2 = −( x1 + x2 ) x
V ( x ) > 0 解 选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足 V ( x) = 0 1 1 2 V ( x ) = ( x1 + x2 ) 2 + x12 + x2 2 2 ( x ) = ( x + x )( x 而 1 + x 2 ) + 2 x1 x 1 + x2 x 2 V 1 2
4.3.4 大范围渐进稳定
x (t ) = xe 如果 x (t0 ) = x0 是整个状态空间中任一点，并且都有 lim t →∞
则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。 当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。 4.3.5 不稳定 对于任意的实数 ε > 0 ，存在一个实数 δ > 0 ，不论 δ 取的多么小，在满足不 x0 − xe < δ 等式 的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x (t ) ，满足
则 xe = 0 为一致渐近稳定的。
V ( x ) → ∞ ，则V ( x ) 是大范围一致渐近稳定的。 如果 x → ∞ ，
（注：本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点）
1 = x2 x [例4.4.2] 系统的状态方程为 2 = −a (1 + x2 ) 2 x2 − x1 x
其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。 解 系统的平衡状态为 xe = 0
4.1
动态系统的外部稳定性
4.1.1 有界输入-有界输出稳定 Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable 定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称 为BIBO系统。 如果输入 u 有界，是指 u ≤ K1 < ∞ 如果输入 y 有界，是指 y ≤ K 2 < ∞
a>0 a=0
可见，只有当 a > 0 时，才有有限值 K 3 存在，系统才是BIBO稳定 的。
4.1.2
BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系
x = Ax + Bu y = Cx
对于线性定常系统
（4.1-2）
平衡状态 xe = 0的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性 是由传递函数的极点决定的。 的极点。可能存在零极点对消。所以， xe = 0 处的渐近稳定就包含 了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 xe = 0 处的渐近稳定。 那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态 xe = 0 渐近稳定呢？ 结论是：如果（4.1-2）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且 系统是既能控又能观测的，则系统在 xe = 0处是渐近稳定的。
G ( s )的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 G ( s )
4.2 动态系统的内部稳定性
4.2.1、系统的平衡状态
e = f ( xe ) = 0 ，称xe为系统 平衡状态：对所有时间t，如果满足 x 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。 说明： e = f ( xe ) = Ax = 0 1、对于线性定常系统： x
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe ≠ 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
y =
∫
t
t0
H (t − τ )u( τ ) d τ
≤
∫
t
t0
H (t − τ ) ⋅ u( τ ) d τ = K1 ∫
t
t0
H (t − τ ) ⋅ u( τ ) d τ
如果
∫
t
t0
H (t − τ ) d τ
≤ K3 < ∞
于是
y ≤ K1 K 3
可以取
K 2 = K1 K 3
= Ax + Bu x 定理4-1 由方程 y = Cx 描述的线性定常系统。
≤ K3 < ∞
= −ax + u x [例4.1.1] 线性定常系统方程为
y = cx
其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为 h(t ) = c e − at 分析系统是否BIBO稳定。 解
∫
∞ 0
h( τ ) d τ = c a ∞
4.3.1 引言 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要 的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如 Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可利 用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上 述稳定性判据就将不再适用。所以， 1892年，俄国 Lyapunov在《运动稳定性的 一般问题》中提出了稳定性 理论。
为初始松弛系统。其输出向量的解为
y (t ) = ∫ H (t − τ )u( τ ) d τ
t0 t
（4.1-1）
BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有
∫
∞ 0
H (t − τ ) d τ ≤ K 3 < ∞
或者对于 H (t − τ ) 的每一元素，都有
∫
∞ 0
hij ( τ ) d τ
则 xe = 0 为一致稳定的。
V ( x ) → ∞ ，则 xe = 0是大范围一致稳定的。 如果 x → ∞ ，
（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证 渐近稳定，只能保证一致稳定。）
( x ) ≤0 因为 V ( x ) = 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe = 0 是一致稳 定的。
x − xe > ε
不稳定
称 xe = 0 为Lyapunov意义下不稳定
4.4 李亚普诺夫第二法
定义 如果标量函数 V ( x ) ≥0 ，并且当
V ( x ) > 0 ；仅当 x ≠ 0 时，
V ( x ) = 0 ；则称 V ( x ) 为正定的。除了 x = 0 以外，还有 x = 0 时，
第4 章
控制系统的稳定性分析
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 4. 李亚普诺夫第二法 5. 线性连续系统的稳定性 6. 线性定常离散系统的稳定性 7. 有界输入-有界输出稳定 8. 非线性系统的稳定性分析
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。也即在受到外界 扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能 恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。
( x ) = 0 ，而 x ≠ 0 和任意 x1 可见，当 x2 = 0 和任意的 x1 时，有 V 2 ( x ) < 0。又因为 x 1 = x2 就不为零，因此 1 = x2，只要 x1 变化 x 时， V ( x) ≡ 0 。 在整条状态轨线上不会有 V xe = 0 是一致渐进稳定的。 因此，
当 x → ∞ ，有V ( x ) → ∞ ，故系统 xe = 0是一致大范围渐进稳定的。
= f ( x) 定理4-4 设系统状态方程为 x
在平衡状态xe = 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导 数，并且满足：
V ( x ) 为正定； 1）
( x ) 为半负定； V 2）
4.2.2、状态向量范数
符号
• 称为向量的范数，x − xe 为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差 向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
x − xe = ( x1 − xe1 ) 2 + ( x2 − xe 2 ) 2 + + ( xn − xen )
[
1 2 2
]
4.3 李亚普诺夫意义下稳定性的定义
x≠0 x=0
将状态方程代入上式，化简后得
( x ) = −( x 2 + x 2 ) V 1 2
( x) < 0 x ≠ 0 V V ( x ) 是负定的，即满足 可见， V ( x ) = 0 x = 0