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exp[ 1 (xi xi1)2 ]
n
fx (x1, x2,...,xn;t1,t2,...tn ) i1
2 (ti ti1) 2 (ti ti1)
归纳维纳过程的性质
1，X(t0)=0,且X（t）是实过程 2，E[X（t）]=0 3,维纳过程是独立增量过程 4，维纳过程满足齐次性X(t1)-X(t2)的分布只与（t2-t1）有
因为是独立增量过程，所以有 X (t0 ) 0 ,则
p{X (t1) X (t0) } p{X (t1) }
1 exp( u2 )du
2t1 2t1
D[ X (ti )] E[ X 2 (t1)] t1
当t1=t2=t时，有 RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)] E[X 2(t)] t
定义二，对于所有样本函数几乎处处连续的齐次独立增 量过程，称为维纳过程。
证明其服从高斯分布： 令∆=（ t2 t2 ）/n, t2 t1 ,由于
X (t2) X (t1) [X (t2) X (t2 )][X (t2 ) X (t2 2)]
n
...[X (t2 (n 1)) X (t1)] Yi i1
同理，当t2>t1时相关函数 的值为 t1
综上，RX (t1,t2 ) min( t1,t2 )
维纳过程与高斯白噪声的联系
由自相关函数的表达式可知对于t1=t2=t,该过程的 2R(t1,t2) / t1t2
不存在，所以维纳过程但在任一固定时刻t上以概率1不可微分 令其形式导数N(t)= X ' (t) （t≥0），N(t)的相关函数：
当t1>t2时，将 X (t1) 写成 X(t1) X(t2) X(t1) X(t2) ，则
R(t1,t2) E[X (t1)X (t2)] E[X 2(t2)] E[(X (t1) X (t2))X (t2)]
E[X 2(t2)] E[(X (t1) X (t2))(X (t2) X (t0))] E[X 2(t2)] t2
RN
(t1, t2 )
E[ X
' (t1) X
' (t2 )]
(t1
t2 )
1 2
N0
(
)
可见其形式导数为高斯白噪声（具有
零均值，均匀谱的高斯平稳过程）， 于是，维纳过程
t
X (t) 0 N ( )d
E[N(t)] =0, GN (w) N0 / 2
➢ 维纳过程的概率分布
根据独立增量过程性质一，易得：
关，与t1或t2本身无关。 *5 ，X(t1)-X(t2)的方差与t2-t1成正比
D[ X (t2 ) X (t1)] E[( X (t2 ) X (t1)) 2 ] E[ X 2 (t2 )] E[ X 2 (t1)] 2E[ X (t2 ) X (t1)]
t2 t1 2t1 (t2 t1), t2 t1
2 (t2 )]
E 2[ X (t2 ) X (t1)] E 2[ X 2 (t1)]
x12
t2
E 2[ X (t2 ) X (t1)] E[ X 2 (t1)]
t2
2t12 t1
(t2 t1)
f ( x2 , t2 | x1, t1)
1
exp[ (x2 x1)2 ]
2 (t2 t1)
由上述条件，当n , 即 0时，有 Yi X [s (i 1)] X (s i) a.e0
根据中心极限定理，大量统计独立的，均匀微小 的随机变量之和的分布接近于高斯分布。所以 x(t1)-x(t2)趋于高斯分布。
两种定义得出的结论是一致的。
下面我们分析一下维纳过程的统计特性：
① 维纳过程的期望和相关函数：由定义一，X（t) 的增量概率分布可知，E[ X (t)] 0
2 (t2 t1)
补充：
因为
所以
pX (t2 ) X (t1)
u'ux1
1
x1 exp (u' x1)2 du'
2 (t2 t1)
2 (t2 t1)
令 f f (x2;t2 | x1;t1) f (x2 | x(t1) x1)(t2 t1)
有扩散方程
f
2 f
维纳过程是一个重要的独立增 量过程，也称作布朗运动过程。
可用来描述电阻中电子的热运动，几乎处 处连续。
可以将维纳过程看作是白噪声通过积分器 的输出。
维纳过程是一个非平稳的高斯过程。
维纳过程的定义
定义一，若独立随机增量过程X(t),其 增量的概率分布服从高斯分布。称X(t) 为维纳过程，即
可以证明，维纳过程是处处连续的，但在任一固定时刻t 上以概率1不可微分.
t 2
2 x22
f t1
2
2 f xБайду номын сангаас2
维纳过程 1
0.5
W(t)
0
-0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
6，维纳过程是非平稳高斯过程
*扩散方程
在X(t1)=X1的条件下，X（t2）的条件方差为 (t2 t1)
证明如下：
E[ X (t2 )
|
X (t1)
x1]
x1
t1 t1
x1
E[ X (t2 ) X (t1)] E 2 (t1)
x1
E[ ( X
(t2 )
X
(t1 ) )2
|
x1 ]
E[ X