洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为 23
2.已知集合(){}{}
|10,|1x A x x x B x e =-<=>，则()R C A B =
A. [)1,+∞
B. ()0,+∞
C. ()0,1
D.[]0,1
3.已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且12,1"x x >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为 A.
227 B. 29 C. 13 D. 23
5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是 A. sin cos y x x =+
B.22
sin 3y x x =-
C. cos y x =
D.3sin
cos 22
x x y = 6.执行下面的程序，若输入的253,161a b ==，则输出的结果为 A. 92 B. 46 C. 23 D. 1
7.等差数列{}n a 为递增数列，若22
11056101,11a a a a +=+=，
则数列{}n a 的公差d 等于
A. 1
B. 2
C. 9
D. 10 8.已知向量()1,0,2,a b a ==
与b 的夹角为45，若
,c a b d a b =+=-，则c 在d 方向的投影为
A.
55 B. 55
-1- 9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.
103π B. 14π C. 1683π- D. 1643
π- 10.已知实数,x y 满足条件20,
220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a
的取值集合为
A. {}2,1-
B. {}|2a R a ∈≠
C. {}|1a R a ∈≠-
D. {}|12a R a a ∈≠-≠且 11.等比数列{}n a 的首项为32，公比为12
-，前n 项和为n S ，则当n N *
∈时，1n n S S -的最大值和最小值
之和为 A. 23-
B. 7
12
- C. 14 D.56 12.四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====,则此此四面体外接球的表面积为 A.
192
π
B. 1938π
C. 17π1717
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为3
4
y x =，则双曲线C 的离心率
为 . 14.若
525n
x dx -=⎰
，则()21n
x -的二项展开式中2x 的系数为 .
15.已知抛物线2
:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .
16.已知函数()ln x
f x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，
都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围
为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，
30.CAD BAD ∠=∠=
（1）若75,10ABC AB ∠==，且//AC BD ，求CD 的长； （2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.
18.（本题满分12分）如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=,二面角F AB D --是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ==== （1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； （2）求二面角F CD A --二余弦值.
19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为
1
2
，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望.
20.（本题满分12分）设椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原
点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.
21.（本题满分12分）设函数()()2
11ln .2
f x x a x a x =--- （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫
'> ⎪⎝⎭
.
请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,
22sin x y ϕϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的普通方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭:6
OM π
θ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()21 1.f x x x =--+
（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （2）若1a b +=，对()()14
,0,,3a b f x a b
∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。