qe
Te Tp
x
e
TE Te
x
e
TE
x
e
TP
x
e
P
E
P
E
按界面上的当量导热系数的含义，有：
qe
TE TP
x e
e
由上两式有：
x e x e x e
e
P
E
（5）
此式即为界面上的当量导热系数调和平均公式，
它可以看成是串联过程中热阻叠加原则的反映。
当网格划分为均匀网格时
e
w
e
w
TP
e
x
e
w
x w
S px
TE
e
x
e
TW
w
x w
Scx
简化成 aPTP aETE aWTW b （2）
aE
e
x
, aW
w
x
e
w
aP aE aW S px
b Scx
一维稳态导热方程的离散形式
系数aE，aW：
1）分别代表了节点P,E间及W,P间导热阻力的倒数（热导）， 其大小反映了节点E,W处的温度对P点温度的影响程度；
e
2P E P E
（4）
6.3 两种方法的比较
1）当λ E 0时，由4式λe 0，说明在一个绝热层
的表面上qe=0，合乎实际；但 3 式 λe 0;
2）如 P E ，按算术平均法，当网格为均匀划
分时， e
P
E
2
P
2
则P，E间的导热阻力为
2 x e
P
，说明P，E间的导
热热阻由导热系数大的决定 ，这是不对的。
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aPTP aETE aWTW b
aE
x
e
1
x
e
P
E
aW
x
w
1
x
w
w
E
aP aE aW S px b Scx
6.4 非线性问题的处理步骤
当源项为温度的非线性函数时，或当量导热系数为温度的函数 时，所计算的问题即为非线性问题，该类问题只能采用迭代的 方式进行求解（应用牛顿迭代方法或其它迭代方法求解）
2）在aE，aW中出现了界面上当量导热系数λ e ，λw，在进行 数值计算时物性数据及温度等变量都存放在节点上，必须 找出如何由相邻两节点的导热系数来获得当量导热系数。 (λ~t，如钢材与耐材结合时λ会有一突变，同一钢材加热时，铁素体向奥氏体转化)
6.2 计算当量导热系数的两种方法
算术平均法及调和平均法
3）在导热系数突变时，使用该调和平均值不必采 用极密的网格，且对有内热源且导热系数连续变 化的场合也要比算术平均好得多。（把阶跃面作为控制容积的分
界面）
4）把物性阶跃面设置成一个节点的位置比作为控 制容积分界面，使计算结果会更加精确。（由于此种情
况阶跃面两侧温度梯度不同，如按3处理，相当于用平均值来代替，采用此种方法处理 时，物性阶跃面两侧温度梯度单独计算，提高了计算精度。）
当S 与T相关时，需对其线性化。S可表示成 该未知量的线性函数。在控制容积P内可表示成
S Sc S pTp
S c ———常数，可看成是该切线与S轴方向相交的距离；
S p ———S随T而变化的曲线在P点的斜率。
在离散化方程中分别进入b及ap中
aP aE aW S px b Scx
S形式可以不同， S c ，S p均可以是T的函数 如S=4-5T 可能的线性化如下：
1）算术平均法
设在P，E之间λ与x成线性关系，则由P，E两点上
的导热系数λ E ，λW确定λe的算术平均(λ不能有突变）
公式为：
e
P
(
x x
)
e
e
E
(
x x
)
e
e
当网格划分为均匀网格时
e
P
2
E
（3）
2）调和平均法
设在控制容积P，E的导热系数不等，则根据界面
上热流密度连续的原则，由傅立叶定律有：
§6 一维稳态热传导方程的数 值解法及其应用
6.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热方程离散化、边界条件及源项的处 理及非线性代数方程的求解方法等对对流问题数 值解也适用。 一维稳态导热微分方程的通用形式为
d dx
dT dx
S
0
式中： x －与热量传递方向相平行的坐标 s－ 源项 λ－导热系数
,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是ΔV= ΔX
从而有
dT dx
e
dT dx
w
x SC
SPTP
0
对扩散项T 随x 呈分段线性分布得：
dT dx
e
e
TE
x
TP
e
dT dx
w
w
TP
x
TW
w
整理得：
TE TP
x
TP TW
x
x SC
SPTP 0
（1）
对控制容积P做积分导出其方程的离散形式
对于源项S，常表示为温度的函数
S=SC+SPTP
式中： SC --- 常数，
SP --- P点的斜率 TP --- P点的温度
对控制方程在控制容积P中进行积分得：
V
d dx
dT dx
dV
SdV 0
V
式中ΔV是控制体积的体积值，当控制体积微小时， ΔV可以表示为ΔX*A
若按调和平均法计算，由5式则导热热阻为
x
e
x
e
x
e
x
e
e
P
E
E
即温度TP将一直扩展到界面e，而温降TP- T E实际上发生在
x
e
内。
说明P，E间的导热热阻由导热系数小的决定，符合传热学
原理。所以此种情况下，调和平均法符合。
对于表征输运特性的物性参数，如导热系数，动力黏度， 调和平均法均优于算术平均法。
下一次迭代部分改进
T n1
TfT (1f)f-松弛系数，f=0~1为欠松弛，f〉1为超松弛。
f=0时重复计算，无更新， f=1时更新快，但易发散。 强烈非线性问题迭代需采用欠松弛方法促进收敛。
F=0.1时新值偶和进去很小，二次结果相差很小，误以为收敛，此时F调大些，如仍相差很小，则收敛。
6.5 源项处理方法
1、源项：它是一个广义量（广义源项），它代表了那些 不能包括到控制方程中的非稳态项，对流项，扩散项中 的所有其它各项之和。
2、采用广义源项的意义：在控制方程中加入广义源项可 以使通用方程代表相当多的流动和传热现象，对于扩展 所讨论的算法及相应程序的通用性具有重要意义。
3、源项分类：常数源项、非常数源项。 4、非常数源项的处理方法：源项局部线性化
1) S c =4 S p=-5
aPTP aETE aWTW b
具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；
（2）计算相应函数b, an b 及 a p
（3）求解线性离散方程组； （4）由新的温度再计算函数（改进系数）； （5）返回2后，再重复计算T，直到 104 为止。
其中
Tn1 Tn
Tn
设初值为T*，迭代后新的温度分布为T，