三角形的证明知识点：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
知识点：等边三角形∙等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。
是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。
∙性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)∙判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。
三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。
等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
例题1：若等腰三角形两边长分别为6cm和12cm，则它的周长等于（ 30 ）cm 。
1、如果等腰三角形的周长为12cm，一边长为5cm，那么它的腰长为___5、3.5___cm．2、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=48°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于[ A ]A．24°B．48°C．46°D．66°3、有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）A．15cm B．17cm C．13cm D．17cm 或13cm分析：分情况考虑：相等的两边是3cm时或相等的两边是7cm时．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断能否组成三角形后，再进一步计算其周长．解答：当相等的两边是3cm时，此时3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当相等的两边是7cm时，此时能够组成三角形，则其周长是7+7+3=17（cm）．故选B．例题2：下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是[ B ]A.内角和等于180°B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边C.有两个锐角的和等于90°D.有两条边的平方和等于第三条边的平方1、（2010·宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）2A．5个B．6个C．7个D．8个分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．解答：设CE与BD的交点为点O，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2 =72°，∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=1/2 ∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°-72°-36°=72°∴BD=BC，同理CE=BC，∵∠BOC=180°-36°-36°=108°，∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．故选D．例题3：如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．（1）若∠A=42 °，则∠EBC的度数为（27 ）度．（2）若AB=10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为（17 ）cm．1、如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（C）[ ] A．40°B．35°C．25°D．20°2、在△ABC中，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则∠B= __36°_______ ．3、如图所示，∠A=15 °，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF=_60°___4、如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°分析：根据直角三角形的判定得△ABE是直角三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解．解答：设∠B=x∵BD=AD则∠B=∠BAD=x，∠ADE=2x，∵AD=AE∴∠AED=∠ADE=2x，∵AE=EC，∠AED=∠EAC+∠C∴∠EAC=∠C=x又BD=DE=AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE=90°，则∠B+∠AED=x+2x=90°得x=30°∴∠BAC=180°-2x=120°故选C例题4：、如图所示，△ABC是等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E ，使CE=CD，请判断△BDE 是不是等腰三角形，并说明理由。
解：△BDE 是等腰三角形．理由如下：因为△ABC 是等边三角形，所以∠ACB= ∠ABC=60 °，又因为BD 是AC 边上的中线，所以∠ABD= ∠CBD=30 °，由于CD= CE ，所以∠E= ∠CDE= 30 °，所以∠DBC= ∠E=30 °，所以△BDE 是等腰三角形。
1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE=BC，判断△ACE的形状，并说明理由。
解：△ACE是等腰三角形理由如下：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∵DE∥BC，DE=BC∴四边形DBCE是平行四边形，∴EC=BD，又∵AC=BD，∴AC=CE，∴△ACE是等腰三角形。
例题1：已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠BDC=90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，∵AB=AC，OB=OC，又∵OA=OA，∴△AOB≌△AOC．∴∠BAF=∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．1、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为（3 ）．2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（A）A．①②③B．①②③④C．①②D．①例1：如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（）A．DE=AC B．DE⊥AC C．∠CAB=30°D．∠EAF=∠ADF分析：已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC 全等，可根据这个条件进行判断．解答：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，∴AD=BC；又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，∴Rt△EAD≌Rt△ABC，∴DE=AC；又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，∴∠EAF=∠ADE；故A、B、D的结论都正确；Rt△CAB中，AB=2BC，显然sin∠CAB≠1/2 ，所以∠CAB≠30°，因此C 的结论是错误的；故选C．例题2：如下图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12 cm，则CD =（ 2 ）cm。
例题3：在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于O ，，AB=4（1）判断△AOB的形状；（2）求对角线AC、BD的长。
（1）等边三角形（2）81.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=（）A 70B 60C 50 D不确定因为AB=BC ∠ABC=∠BCA BM=CN所以三角形ABM全等于三角形BCN所以∠CNB=∠BMA 因为∠CBN+∠CNB=120度所以∠BMA+∠CBN=120度所以∠BPM=60度所以∠APN=60度2、如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使BD=CE,AE与CD交于点F,AG⊥CD 于点G,则以下结论:（1）△ACE≌△CBD；(2)∠AFG=60°；(3) AF=2FG；(4)AC=2CE ；其中正确的结论有（）个[ B ]A. 4B. 3C. 2D. 1解：∵等边△ABC∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60∵AD＝BE∴△ABE≌△CAD （SAS）∴∠BAE＝∠ACD∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60∵AG⊥CD∴FG/AF＝1/23.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是√6￣÷3知识点：直角三角形的性质及判定直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。