•f(x2)
•f(x1) •O
•N
•M
•D •x1 •x2
•区间D内随着x的增大，y也增 大
•对区间D内•任意 x1，x2 ，
•当x1<x2时，•都 有f(x1)<f(x2)
•x
•定义
•设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. •如果对于区间D上的任意
•两个自变量的值x1,x2，•当x1<x2时，都有 f(x1 ) •< f(x2 )，
•⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）
．
•证明 ：
•设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2， 则
•f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2 ）
•
•
＝3（x1－x2）
•由x1＜x2，得 x1－x2＜0
••f（x1）－f（x2）＜ • •f（x1）＜ f（x2） 0
• 如果对于属于定义域I内某个区间D上 • 如果对于属于定义域I内某个区间D上
•的任意两个自变量的值x1,x2，
•的任意两个自变量的值x1,x2，
•当x1<x2时，都有f(x1 )•< f(x2 )， •当x1<x2时，都有 f (x1 )•> f(x2 )，
• 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 • 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，D称为f(x)的单调•增 区间.
•减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
•单调区间
•注意： •① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 ，是函数的局部性质；
•②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
•③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接 说某函数是增函数或减函数。
•下列说法是否正确？请画图说明理由。
• •那么就说 f (x)在区间D上•是单调增函数 D 称为 f (x)的单调
•增区间.
，
•类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
•y
•y
•f(x2) •f(x1)
•f(x1) •f(x2)
•O
•x1
•x2
•x •O
•x1
•x2
•x
•设函数y=f(x)的定义域为I,
•设函数y=f(x)的定义域为I,
•1
•o
•2 •x
•补 例
•证明 ：
•（取值 ） •（作差
）
•（定号）
•（下结论
•3．证明函数单调性的方法步骤 • 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的
一般步骤：
•① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； •② 作差f(x1)－f(x2)； •③ 变形（通常是因式分解和配方）； •④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
•？
•对区间D内
x1，x2 ，
•当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
•x
•y
•f(x2) •f(x1)
•O
•N
•M
•I •x1 •x2
•图象在区间D逐渐上升
•区间D内随着x的增大，y也增
大 •？
•对区间D内•任意 x1，x2 ，
•当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
•x
•y
•图象在区间D逐渐上升
•y
•f•(•x•)
•f•(•x•1•) •f•(•x•2•)
•x•1
•x•2 •x
•图5
•⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单 调函数的图象上升，则为增函数，图象下降 则为减函数.
•思考1：一次函数
的单调性，单调区间：
•思考2：二次函数 单调区间：
的单调性，
•（二）典型例题 •例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
•例2 物理学中的玻意定律
•(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V
减小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.
•探究：P30 画出反比例函数
的图象．
•①这个函数的定义域是什么？
•②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
•思考3：反比例函数 •单调区间：
的单调性，
f(x … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … )
•y
•10 •8 •6 •4 •2
•O •-2
•D
•2
•4
•6
•8 •1 0
•1 2
•1 4
•1 6
•1 8
•2 0
•2 2
•24 •x
•y
•f(x2) •f(x1)
•O
•N
•M
•I •x1 •x2
•图象在区间D逐渐上升
•区间D内随着x的增大，y也增大
•3．f (x) = x2
•①在区间 _•_(_-_∞_,_0_]_____ 上，f (x)的值随 •着x的增大而 •__减__小____ ． •② 在区间 •_（__0_，__+_∞__）___ 上，f (x)的值随 •着x的增大而 •__增__大____ ．
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
•（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x 有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单 调递增。
•（2）对于区间（a,b）上的某3个自变量的值
• x1,x2,x3,当 •有
时，
• 则函数f(单调性与单调区间 • 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么
•O
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
•对于某一个点而言，由于它的函数值是一个 •确定的常数，无单调性可言，因此在写单调 •区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。
•但对于某些不在定义域内的区间端点， •书写时就必须去掉端点。
练习：判断函数 。
•y
的单调区间 •单调递减区间：
•单调递增区间：
就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫
做y=f(x)的单调区间：
•注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
•⑵应是该区间内任意的两个实数，
忽略需要任意取值这个条件，就不能
保证函数是增函数（或减函数），例
如，图5中，在那样的特定位置上，
虽然使得
,但显然此图象表示
的函数不是一个单调函数；
函数的单调性和最大小值( 公开课)
• 一、引入课题
• 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映
了相
• 应函数•y的哪些变化规律•y：
•y
•1
•-1
•1 •x
•-1
•1
•1 •-1
•-1
•1
•x
•-1
•1
•x
•-1
•问：随x的增大，y的值有什么变化？
• 画出下列函数的图象，观察其变化规律： • 1．f (x) = x
• ① 从左至右图象上升还是下•降上__升____? • ②在区•间（-_∞ ___，__+__∞__）__ 上，随着x的增大，f (x)
的值随着•_增__大_____ ．
•2．f (x) = -2x+1
•① 从左至右图象上升还是下降 •_下___降__? •②在区间•（__-_∞___，__+__∞__）上，随着x的增大，f (x)的 值随着 •_减__小_____ ．