法运算的法则．图 913(1)中是已知向量 a,b；图 9-13(2) 显示了 a+(-b)；图 9-13(2)显示了 a-b 的直接运算法则，法则的文字
ab 图 9-13(1)
-b
a c
c
图 9-13(2) a
b
图 9-13(3)
表述是：a-b 的结果是一个向量 c，
把 a,b 的始点移到同一点，从 b 的终点连向 a 的终点的向量就是 c(三角形法则) 对于三角形法
的和向量 c．
解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量 c．
b a
图 9-10(1)
c
图 9-10(2)
b
b
c
a
图 9-10(3)
(见图 9-10(2))
(2)移 b 的始点到 a 的终点，从 a 的
始点连向 b 的终点的向量即为和向量 c(见图 9-10(3))．
AB + BC , BC + AB , BA + BC , BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？
5. 矩形 ABCD 如第 4 题，求
D
C
第 4 题图
( AB + BC )+CD , AB +( BC +CD ), AB + BC + DC , BA + BC + DA ．
得到的和向量之间有哪些关系？ 数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c))，向量的加法运算同
例 5 (1)若 b=-a，求 c=a+b；
(2)若 a,b 平行，求 c=a+b．
例 6 已知向量 a,b, c, d 如图 9-
12，求 f=a+b+c+d．
a bc
c
d
b
解 逐次应用向量加法的法则——
d
a
f
移加向量的始点到被加向量的终点，从
图 9-12
被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量 f 如图 9-12 所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是 a+b, a+b+c．
图 7-2(1)
了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标
B C C1
出起终点(见图
7-2(2))，此时可以以
AB
, CD
,
BC 11
等表
A
示向量，而向量的模，也就对应地表示为|
AB
|,| CD
|,|
BC 11
|．
D
B1
图 7-2(2)
=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b． 例 9 ABC 的 AC 边长为 a，现把 AB,BC 边各延长原来的 0.8 倍成为A1BC1，求边 A1C1 的长(见图 9-15)． 课内练习 5 1. 已知向量 a，作出向量-2a, 3a． 2. 已知向量 a 的模为 s，求向量 b=0.1a, c=-3a, d=2.5a 的模． 3. 设 c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求 h=2a-3c +3f-3d-3g-2b． 4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进 2km、乙行进 6km 时两人相距 4km， 问当甲、乙继续按原方向分别继续行进 1.5km、4.5km 时，两人相距多少？
点、以 a,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与 a,b 同侧(平行四边形法则，见图 9-9(1))； 也是是以 a 的终点作为 b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图 9-9(2))．对于三角形
c
a
b
图 9-9(1)
b
c
a
图 9-9(2)
法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例 4 用两种方法作出图 9-10(1)中向量 a,b
W
第 3 题图
复习引入：
新授：
(1)向量的加法运算
向量加法运算的法则．
向量 a 加向量 b 的结果 a+b 是按照下列法则生成的一个向量 c：把 b 的始点移到 a 的终点后、
从 a 的始点连到 b 的终点．记作
c=a+b．
与数量相加一样，把 a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．
在 a,b 不平行的情况下，c 是重合 a,b 的始
样满足交换律和结合律 a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，
(2)向量的减法运算
如同数量 a,b 相减 a-b，是被加数 a 与加数 b 的相反数-b 相加一样，所谓向量 a,b 相减 a-b，
实际上是向量 a 与向量 b 的相反向量-b 相加，即 a+(-b)．a应用向-b量加法法则，可以得出向量减
AB = DC , BA =CD , BC = AD , CB = DA ，
更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、 小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不 能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较 大小的．即使两个向量 a,b 有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量 a 的模大于向量 b 的模， 而不能说向量 a 大于向量 b．
特别地，若一个向量的模为单位 1，则叫做单位向量，单位向量常记作 e．若一个向量的模为 0，
则叫做零向量，零向量总是记作 0．零向量的长度为 0，且规定零向量 0 的方向是可以任意确定的．
为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量
ab
c
表示成如图 7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示
AB =- BA , BC =-CB , DC =-CD , DA =- AD , AC =-,CA , BD =- DB ． 例 3 对例 2 的问题，若记第一次位移向量为 a，第二次位移向量为 b，现继续作第三、四 次位移，第三次位移是从 C 出发向左移动 3 到 D，第四此则从 D 返回 A．试以 a,b 表示第三、
(+)a=a+a， (a+b)=a+b， 其中,是任意实数，a,b 是任意向量．
根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数，使 b=a（a≠0），则 a 与 b 是平行向量； 反之，如果 a 与 b 是平行向量，则有且只有一个实数，使 b=a（a≠0）．
例 8 设 c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c． 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)
四次位移．
(3)平行向量 若两个向量 a,b 的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量 a 平行于 向量 b 或向量 b 平行于向量 a． 规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征，若向量 a 位于直线 l 上(即 a 的始终点都在 l 上)，则只要平移 a 的平行向量 b，b 也必定能位于直线 l 上，因此又把平行向量叫做共线向量． 例 4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．
|b|=|||a|； b 的方向当>0 时与 a 的方向相同，当<0 时与 a 的方向相反．记作
b=a 或 b=a， 把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．
根据向量数乘运算的这种规定，立即可知
-a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a． 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：
复习引入：
新授：
1. 向量的概念
把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量 a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字符 的上方加一个小箭头，例如 a叫做平面向量． 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或| a |,|b |,| c |,...．
样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．
(3)向量的数乘运算 在数量运算中，若 a=2，b 是 a 的两倍，则 b=2a．在例 8 向量运算中，我们两次都遇到 a= AC + AC , b = CB + CB 这 样 两 个 相 同 的 向 量 相 加 问 题 ， 能 不 能 也 能 简 写 成 a = 2 AC , b=2CB 呢？这完全取决与如何规定 2 AC ,2CB 的含义，若规定它们的含义确实与 AC + AC ,CB +CB 相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义： 一个实数乘以向量 a 的结果是一个平行于 a 的向量 b，b 的模是 a 的模||倍，即
量；若正六边形的边长为 1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？
2. 向量的比较
(1)向量相等 任意两个数量 a,b 都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(ab)两种，只要根据两个 数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量 a,b 的相等与否， 不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当 a,b 的大小相等、方向相同时，才能说 ab, 相等，并表示成 a=b；否则 a, b 就不相等(ab)．在例 1 中的相等向量有且仅有