近代数学本质上可以说是变量数学。

文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求：机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等，总之，到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。

这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。

变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。

解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(),x y 之间建立一一对应的关系。

每一对实数(),x y 都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标(),x y 。

以这种方式可以将一个代数方程(,)0f x y =与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。

借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊的阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵着这种思想。

解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆（N 。

Oresme ，1323—1382），他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到函数的图象表示，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线，相当于横坐标与纵坐标。

不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。

解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿（R 。

Descartes ，1596—1650）与费马（P 。

de Fermat ，1601—1665）。

他们工作的出发点不同，但却殊途同归。

费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》（1629）的书。

书中清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。

直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”。

费马在书中还提出并使用了坐标的概念，不仅使用了斜坐标系，也使用直角坐标系，他所称的未知量A 、E 实际就是“变量”，也就是我们今天所称的横坐标与纵坐标。

书中费马解析地定义了以下的曲线：
直线方程：()d a x by -=；
圆：222
b x y -=；
椭圆：222b x ky -=；
抛物线：22,x dy y dx ==；
双曲线：2222;xy k x b ky =+=；
费马后来还定义了新曲线：
,m n n m x y a y ax ==和n r av =。

费马没有说明他的解析几何思想是如何形成的。

我们可以认为，他与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学振兴所带来的必然结果。

解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。

微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。

我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。

如阿基米德、刘徽和祖冲之父子等人的方法，他们的工作，确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱。

与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。

刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。

古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线，等等。

但所有这些都是基于静态的观点，把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干。

古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。

总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。

近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。

为了理解这一酝酿的背景，我们首先来略微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。

首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人目不暇接、惊奇不已的天文发现。

望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。

1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。

开普勒行星运动三大定律要意是：
（1）行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；
（2）由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；
（3）行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律。

从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。

1638年，伽利略（GALILEO Galilei ，1564—1642）《关于两门新科学的对话》出版。

伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45
时达到，等等。

伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。

凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点：确定非均匀运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务
之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。

与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题—面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。

解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引进微分学问题研究的先锋。

笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。

笛卡儿圆法记载于他1637年发表的《几何学》中。

就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法。

按费马的方法，设函数()f x 在点a 处取极值，费马用a e +代替原来的未知量a ，并使()f a e +与()f a “逼近”（adequatio ），即
()()f a e f a + ，
消去公共项后，用e 除两边，再令e 消失，即
()()0e f a e f a e =+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由此方程求得的a 就是()f x 的极值点。

例如。

费马用他的方法来确定怎样把长度为b 的一个线段划分为两个线段x 和b x -，使得它们的乘积()2
x b x bx x -=-最大（也就是作一个周长为2b 的长方形，使其面积最大）。

首先用x e +代替x ，然后写出
()()2
2b x e x e bx x +-+- ，
即2222bx be x xe e bx x +---- ，消去相同项得 220be xe e -- ，
两边除以e ，得
20b x e -- ，
令0e =，得20b x -=，即有
2
b x =。

费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号e （他写作E ）代替了增量x ∆。

记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是他写给梅森（M 。

Mersenne ）的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头人物伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心。

他将费马这封信转给了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论，因为费马求极大极小值的方法也可以用来求曲线的切线，他在致梅森的信中就收入了怎样用他的方
法来求抛物线2y x 在给定点的切线的例子。

费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允许，我将在另外的场合来论述。

”。