2005年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题
（10月6日 上午8∶30—9∶30） 本卷满分100分（7/×4+8/×4+10/×4 =100/）
1、在平面上画一个长方形能把平面分成两个部分，如果画三个长方形，那么最多能把平面分成 部分。
解：1个长方形 4个角（2部分）；2个长方形 最多是八角星形（10部分）；3个长方形 最多是12角星形：
新长方形把原来八角星的角分出成为新的部分（+8）， 新长方形自己新加入的角也成为新部分（+4）； 原来两角间凹陷部分有一半也成为新部分（4）； ∴共10+8+4+4=26个部分
2、n ×7的积的末四位数是2005，那么n 的最小值是 。
解1 数字谜+逆推：1715
解2 数论整除：设 a2005整除7，则a2-005要能被7整除。
a2最小取12 所以 n=1200÷7=1715
3、一只箱子装有标号为1、2、3、…、2005的2005张卡片，现从箱子中随意取出x 张卡片，但是为了确保 这x 张卡片中至少有两张卡片标号的差是5，那么x 至少是 。
解：最倒霉拿连着5个数 空5个数 再拿5个数 再空…；2000÷2+5+1=1006
4、一名收藏家拥有m 块宝石，如果他拿走最重的3块宝石，那么宝石的总重量会减少35％，如果他从余下的
宝石中再拿走最轻的3块，那么余下宝石的重量会再减少5/13，则m ＝ 。
解：三块最重的重0.35, 平均每块重 0.107；三块最轻的重(1-0.35) ×(5/13)=0.25, 平均每块重 0.083；
则剩下的共重1-0.35-0.25=0.40
若剩3块，则每块重0.40/3=0.133>0.107,所以剩下的多于3块； 若剩5块，则每块重0.40/5=0.080<0.083,所以剩下的少于5块； 所以剩下的只能是4块,加最大3块，最小3块，共10块
5、在正方形ABCD 中，切去四个三角形得到一个五边形EFGHI （如右图，其中所标的数表示各线段的长度），
线段IJ 将五边形EFGHI 分成两个面积相等的部分，那么FJ 的长度是 。
解： 五边形面积=8×8-（30+6+6+2）/2=42；一半为21
从I 点向AD 作垂线交AD 于P 。
可以计算出三角形IJP 的面积为21-（3×8-3-3）=3。
所以JP= 3×2/8=0.75 FJ = 5-1-0.75 = 3.25
6、电子表现显示的数字是10:20:05，如果从现在起到12点整为止，那么电子表
显示的6个数字都不相同的情况共有 种。
解： 6×5×4×3=360 数位 1 2 3
4 5 6
只能1 只能0 2、3、4、5 其余 选择 1种
1种
4种
3种
6种
5种
7、正整数n 使得(191919+n)(191919+n)除以19的余数是6，那么n 除以19的余数是 。
解：根据题意(191919+n)^2 除以19余6 则 191919^2+n^2+383838n 除以19余6 则n^2除以19余6，
设n=19m+x ，则n^2 = （19m+x ）^2 = 19 m ×19 m + 38mx + x ^2 => x ^2 =6+19Y 枚举x 0-18，得5、14
8、甲乙两地相距24千米，现仅有一辆自行车，车速是每小时15千米，但只能一个人骑。
小明每小时步行6千米，小华每小时步行5千米，两人轮换骑车和步行，骑车的过一段距离下车，停车后，然后自己步行，而步行的到此地，则骑车前进。
如果两人同时从甲地出发，并且同时到达乙地，那么需要时间 分钟。
解： 设小明骑车x 千米后，步行。
x/15 + (24-x)/6 = x/5 + (24-x)/15 = 需要的时间。
解方程可得：x ＝72/7
所需时间为：x/15＋（24－x ）/6，代入可得所需时间为104/35小时。
12
1
H
G F
E D
B
J
9、小聪和小明计算两个三位数的差，小聪的答案是234，小明的答案是432。
检查中发现，小聪的答案正确；小明由于漏看了减数的个位数，而把减数看成两位数，所以错了。
那么被减数是 。
解：设A-<abc>=A-10<ab>-c=234 (1) A-<ab>=432 (2)
(2)-(1)得：9<ab>+c=198 <ab>+c/9=22 显然，只有:c=0，或c=9 当c=0时：<ab>=22(不满足要求，舍去)
当c=9时：<ab>=21 所以<abc>=219，A=234+219=453.
10、如果某正整数不论从左边或右边读起都相同（例如36563，2002等）那么称该数为“回文数”，
能被101整除的最大五位回文数是 。
解：abcba = xyz*100+xyz 所以 x=z=a ，y=b ，c=x+z=2a c 最大取8， a=4， 这时b 最大取9。
所求五位数为： 49894
11、如图，正方形ABCD ，M 是CD 的中点，那么面积P 、Q 、R 、S 的比P:Q:R:S= 。
解：连AM ，梯形蝴蝶原理：4：5：1：2
12、四个正整数a 、b 、c 、d 都小于1000，并且组成一个四数组(a 、b 、c 、d)，如果a+4、b-4、c ×4、d ÷4也是
正整数，而且都相等，那么这样的不同四数组共有 个。
解：令a+4=b-4=c×4=d÷4=x
d÷4=x => x ≤250， 且c×4 =x => x 是4的倍数（x=c×4） 且当x=4时，a=0，这种情况舍去；所以x 有 [250÷4]-1 = 61种情况
M
C
D
B。