直线与圆的位置关系
直线的方程
斜截式 斜率k y=kx+b 不包括垂直于x 轴的直线
纵截距b
点斜式 点P 1(x 1,y 1) 1y y -=k （1x x -） 不包括垂直于x 轴的直线
斜率k
两点式 点P 1(x 1,y 1) 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 和P 2(x 2,y 2) 截距式 横截距a 1=+b
y
a x 不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线
纵坐标b
一般式 Ax+By+C=0 A 、B 不同时为0 圆的方程
标准式：2
2
2
()()x a y b r -+-=，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心．
一般式：220x y Dx Ey F ++++=（22
40D E F +->）.其中圆心为,2
2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩
，cos (sin x a r y b r ααα=+⎧⎨=+⎩是参数）. 消去θ可得普通方程
典型例题
例1.已知一个圆和y 轴相切，在直线x y =上截得的弦长为72，且圆心在直线0
3=-y x 上，求圆的方程。

练习：求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。

练习：已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为
7
2，求圆C 的方程。

121
121x x x x y y y y --=
-
-
点与圆的位置关系：
已知点()00M ,x y 及圆()()()2
2
2C 0：x-a y b r r +-=>， （1）点M 在圆C 外()()2
2
200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()2
2
200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()2
0CM r x a ⇔=⇔-()2
20y b r +-=
圆的切线
(1)切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆
222
()()x a y b R -+-=上一点
00(,)
P x y 圆的切线方程是：
200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的
距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为
；
例2. 已知圆的方程为222
x y r +=， 00(.)P x y 是圆外一点，经过P 点作圆的切线两切线，
切点分别为A,B,求直线AB 的方程。

练习：写出过圆x 22
10y += 上的一点的切线方程
练习：设A 为圆1)1(2
2
=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为---
直线与圆的位置关系：
直线:0l Ax By C ++=和圆()()2
2
2C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷
例3.已知直线方程为
圆方程为2
2
(1)1x y -+=则当m 为何值时，直线与圆（1）相切 (2)相离 （3）相交
例4.已知⊙C ：(x-1)2+(y-2) 2
=2，P(2,-1)，过P 作⊙C 的切线，切点为A 、B 。

求切线直线PA 、PB 的方程
练习：若直线(1)10a x y +++=与圆 22
20x y x +-=相切，则 a 的值为（ d ）
A. 1或-1
B. 2,或-2
C. 1
D. -1 练习：已知过(1,0),(0,2)A B -的直线与圆2
2
(1)()1x y a -+-=相切，则a=?
练习：已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为
弦长求法
0x y m ++
=
（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2
2
22l d r ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
．或者AB =
（2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 直线y kx b =+与圆2
2
2
()()x a y b r -+-= 相交两
点A,B. A B AB x =-=
例5.已知直线:1l y kx =+，圆C ：22
(1)(1)9x y -++=.
(1) 试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；
(2) 当k 取何值时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，并求出最短弦的长。

练习：已知圆C ：2
2
2430x y x y +++-=和直线l ：10x y ++=，则圆C 到直线l 的距离
的点共有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
例6.已知直线:2l y kx =+和曲线C:y =有两个交点,求实数k 的取值范围.
练习：圆82
2
=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为经过点P 且倾斜角为α的弦。

（1） 当4
3π
α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时求直线AB 的方程。

练习：已知直线mx y =与圆021682
2
=+-++y x y x 交于Q P ,两点，O 为坐标原点，求
⋅的值。

课后练习:
1．设0>m ，则直线01)(2=+++m y x 与圆m y x =+2
2的位置关系为
A ．相切
B ．相交
C ．相切或相离
D ．相交或相切 3．设直线过点),0(a ，其斜率为1, 且与圆22
2=+y x 相切,则a 的值为
A ．± 2
B ．±2
C ．±2 2
D ．±4 4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆2)()(2
2
=-+-b y a x 相切”的
A 充分而不必要条件．
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆01422
2
=+-++y x y x 的周长,则
b
a 1
1+ 的最小值为 A ． 41 B ． 2
1
C ． 4
D ．4-
8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
9．若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是
A.（4，6）
B.［4，6）
C.（4，6］
D.［4，6］ （二）填空题：
11．设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为 _ . 12．已知圆)0()5(:2
22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共
点，则r 的取值范围是 .
13．设直线30ax y -+=与圆2
2
(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为
a =___．
14．过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直
线l 的斜率k ＝ ．
（三）解答题
１．求过点(2,4)A 向圆42
2
=+y x 所引的切线方程。

２．求直线012=--y x 被圆0122
2
=--+y y x 所截得的弦长。

３．已知实数y x ,满足12
2
=+y x ，求1
2
++x y 的取值范围。