线性代数ppt课件
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第一章 行列式
2、标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列。
3、逆序与逆序数
在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的 次序不同 就说有1个逆序。
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
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第一章 行列式
4、逆序数的计算
在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说 元素pi的逆序数是ti。
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第一章 行列式
§1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数?
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
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第一章 行列式
1、全排列
我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素 的全排列(简称排列)
n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示。 Pn的计算公式
Pnn(n1)(n2) 321n!
举例 由a b c组成的所有排列为 abc acb bac bca cab cba abb是排列吗?
x1
b1a22 a12b2 a11a22 a12a21
x2
a11b2 b1a21 a11a22 a12a21
x1
b1a22 a12b2 a11a22 a12a21
x2
a11b2 b1a21 a11a22 a12a21
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第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222 代数和a11a22a12a21
由于莱布尼茨曾在德国汉诺威生活和工作了近四十年, 为纪念他和他的学术成就,2006年7月1日,也就是莱布尼 茨360周年诞辰之际,汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼 茨大学。
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第一章 行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
1、二元线性方程组
用消元法解二元线性方程组
a11x1a12x2b1 a21x1a22x2b2
排列的逆序数为 t t1t2
n
tn ti
i1
举例 在排列32514中 t10 t21 t30 t43 t51 排列32514的逆序数为t010315 标准排列12345的逆序数是多少?
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第一章 行列式
例(P26,练习2-(5)) 求排列:1 3 …(2n-1) 2 4 …(2n)的逆序数。
解: 1 3 … (2n-1) 2 4 … 2k… (2n)
t1t2 tn0 tn1 n1 tnk nk
t ( t 1 t 2 t n ) ( t n 1 t n 2 t n k t 2 n )
( n 1 ) ( n 2 ) ( n k ) ( n n ) n ( n 1) 2
这样就有
b1 a1
x1 —ba—211 —2a2a21—
a2
1
2
a2
2
a11 b1
x2 —a1a—211 —ab12—
a2
1
2
a2
2
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第一章 行列式
2、二阶行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222 代数和a11a22a12a21
称为二阶行列式。
➢即二阶行列式表示为:a 1 1 a 1 2
十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。
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第一章 行列式
莱布尼茨:历史上少见的通才,被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上,他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上,莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
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第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 (对角线法则或沙路法则 )
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
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第一章 行列式
[例2] 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
32xx11
2x2 12 x2 1
[解]
DD
33 22
212133((44))7700
D1
12 1
2 1
12 (2)
14
D2
3 2
12 1
3
24
21
因因此此
x1x1
D1D1 DD
1414 7722Fra bibliotekx2x2
DD2 2 DD
2121 77
33
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第一章 行列式
二、三阶行列式
1、三阶行列式的定义
设有9个数排成3行3列的数表:
a11 a 21
a12 a 22
a13 a 23
a 31 a 32 a 33
a11 a12 a13
用符号 a 2 1 a 2 2 a 2 3
代表代数和
a 31 a 32 a 33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31
并称它为三阶行列式。
3 4 2
[解按] 对角线法则 有
D 12(2)21(3)(4)(2)4 114 2(2)(2) (4)2(3) 14
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第一章 行列式
[例3] 求解方程
11 1 2 3 x =0 4 9 x2
[解] 方程左端的三阶行列式
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是:四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
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第一章 行列式
5、奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列; 逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列。 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列。
线性代数
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第一章 行列式
§1–1 二阶与三阶行列式 §1–2 全排列及其逆序数 §1–3 n阶行列式的定义 §1–4 对换 §1–5 行列式的性质 §1–6 行列式的展开 §1–7 克拉默法则
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第一章 行列式
§1-1 二阶与三阶行列式
行列式(determinant )的历史
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世 纪莱布尼茨的著作中已使用行列式来确定线性方程组解的 个数及形式。
a 21 a 22
➢行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线
a11 a1
a2
1
2
a2
2
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第一章 行列式
➢对角线法则
二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素 之积所得的差
a11 a1
a2
1
2
a2
2
a11a22 a12a21
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第一章 行列式
[例1]求解二元线性方程组