课时练：第六章 《反比例函数》 （培优篇）一．选择题1．下列各点中，在反比例函数y ＝图象上的是（ ） A ．（﹣1，8）B ．（﹣2，4）C ．（1，7）D ．（2，4） 2．如果点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＞y 3＞y 2 B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 23．函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝﹣x +6于B 、C 两点，若函数y ＝（x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．5≤k ≤20B ．8≤k ≤20C ．5≤k ≤8D ．9≤k ≤205．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣166．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的两边在坐标轴上，OB ＝1，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置，此时点A 1在函数y ＝（x ＞0）的图象上，C 1O 1与此图象交于点P ，则点P 的纵坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数y ＝ax ﹣a 与y ＝（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，A 、C 分别是x 轴、y 轴上的点，双曲线y ＝（x ＞0）与矩形OABC 的边BC 、AB 分别交于E 、F ，若AF ：BF ＝1：2，则△OEF 的面积为（ ）A．2 B．C．3 D．9．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y＝与AB交于点D，与BC 交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A．B．+1 C．D．210．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD 为（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，平面直角坐标系中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．612．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（）A．B．C．6 D．12二．填空题13．反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足．14．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．15．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C 在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为．16．如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为．17．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y ＝x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y ＝（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．18．如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3…△P n A n ﹣1A n …都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2…A n ﹣1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n ＝ ．三．解答题19．如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，且点A的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围．20．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加热前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数解析式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．22．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y＝与OA边交于点E，连接OP．（1）如图1，若点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，求直线AB和反比例函数y＝的解析式；（2）如图2，若∠AOB＝60°，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若OE＝4，并且△OPC 的面积为，求反比例函数y＝的解析式及点P的坐标．参考答案一．选择题1．解：A、∵﹣1×8＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错不合题意；B、∵﹣2×4＝﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵1×7＝7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、2×4＝8，∴该点在函数图象上，故本选项符合题意．故选：D．2．解：∵反比例函数的比例系数为﹣1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，∴y1最大，∵1＜2，y随x的增大而增大，∴y2＜y3，∴y1＞y3＞y2．故选：A．3．解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．故选：D．4．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），∴1×5≤k≤4×5即5≤k≤20，故选：A．5．解：∵图中阴影部分的面积等于16，∴正方形OABC 的面积＝16， ∵P 点坐标为（4a ，a ）， ∴4a ×4a ＝16，∴a ＝1（a ＝﹣1舍去）， ∴P 点坐标为（4，1）， 把P （4，1）代入y ＝，得k ＝4×1＝4．故选：C ．6．解：∵OB ＝1，AB ⊥OB ，点A 在函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上， ∴当x ＝﹣1时，y ＝2， ∴A （﹣1，2）．∵此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置， ∴B 1（2，0）， ∴A 1（2，2）．∵点A 1在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝，O 1（3，0）， ∵C 1O 1⊥x 轴， ∴当x ＝3时，y ＝， ∴P （3，）． 故选：C ．7．解：A 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四象限，所以A 选项错误；B 、从反比例函数图象得a ＞0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、三、四象限，所以B 选项错误；C 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以C 选项错误；D 、从反比例函数图象得a ＜0，则对应的一次函数y ＝ax ﹣a 图象经过第一、二、四象限，所以D 选项正确． 故选：D ．8．解：设F 点的坐标为（t ，）， ∵AF ：BF ＝1：2， ∴AB ＝3AF ，∴B 点坐标为（t ，）， 把y ＝代入y ＝得x ＝， ∴E 点坐标为（，），∴△OEF 的面积＝S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF ＝t •﹣×2﹣×2﹣•（﹣）•（t ﹣） ＝． 故选：B ．9．解：设D （t ，），∵矩形OGHF 的面积为1，DF ⊥x 轴于点F ， ∴HF ＝， 而EG ⊥y 轴于点G ， ∴E 点的纵坐标为，当y ＝时，＝，解得x ＝kt ， ∴E （kt ，）， ∵矩形HDBE 的面积为2，∴（kt ﹣t ）•（﹣）＝2， 整理得（k ﹣1）2＝2， 而k ＞0， ∴k ＝+1．故选：B ．10．解：连结OA 、OB ，AB 交y 轴于E ，如图， ∵AB ∥x 轴， ∴AB ⊥y 轴，∴S △OEA ＝×3＝，S △OBE ＝×2＝1， ∴S △OAB ＝1+＝，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴S 平行四边形ABCD ＝2S △OAB ＝5． 故选：D ．11．解：作AC ⊥y 轴于C ，AD ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，它们相交于D ，如图， ∵A 点坐标为（1，2）， ∴AC ＝1，OC ＝2，∵AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点， 即把△AOC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ABD ， ∴AD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，∴B 点坐标为（3，1）， ∴k ＝3×1＝3． 故选：B ．12．解：设反比例函数解析式为y ＝，一次函数解析式为y ＝ax +b ， 将点A （1，12）代入y ＝中，得k ＝12， ∴反比例函数解析式为y ＝，将点A （1，12）、B （6，2）代入y ＝ax +b 中， 得，解得，∴一次函数解析式为y ＝﹣2x +14． 设点P 的坐标为（m ，14﹣2m ），则S 四边形PMON ＝S 矩形OCPD ﹣S △OCM ﹣S △ODN ＝S 矩形OCPD ﹣|k |＝m （14﹣2m ）﹣12＝﹣2m 2+14m ﹣12＝﹣2+，∴四边形PMON 面积的最大值是．故选：A ．二．填空题（共6小题） 13．解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，则k +2＞0， 解得k ＞﹣2． 故答案为k ＞﹣2．14．解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图， 设A 点坐标为（a ，），∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE＝90°，∵∠DOC+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠AOE，∵在△COD和△OAE中∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣•a＝﹣4，∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．故答案为y＝﹣（x＜0）．15．解：连结OA、CA，如图，则S△OAD＝|k|＝×6＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴S△CAD ＝S△OAD＝3，∴▱ABCD的面积＝2S△CAD＝6．故答案为6．16．解：∵点P在y＝上，∴|x p|×|y p|＝|k|＝1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y＝﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y＝﹣上，∴代入得：＝﹣，解得：x＝﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝故答案为：．17．解：如图，设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，∵A点的横坐标为1，A点在直线y＝x上，∴A（1，1），又∵AB ＝AC ＝2，AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴B （3，1），C （1，3），且△ABC 为等腰直角三角形，BC 的中点坐标为（，），即为（2，2），∵点（2，2）满足直线y ＝x ，∴点（2，2）即为E 点坐标，E 点坐标为（2，2）， ∴k ＝OD ×AD ＝1，或k ＝OF ×EF ＝4， 当双曲线与△ABC 有唯一交点时，1≤k ≤4． 故答案为：1≤k ≤4．18．解：（方法一）如图，过点P 1作P 1M ⊥x 轴， ∵△OP 1A 1是等腰直角三角形， ∴P 1M ＝OM ＝MA 1， 设P 1的坐标是（a ，a ），把（a ，a ）代入解析式y ＝（x ＞0）中，得a ＝3， ∴A 1的坐标是（6，0）， 又∵△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，设P 2的纵坐标是b ，则P 2的横坐标是6+b ， 把（6+b ，b ）代入函数解析式得b ＝，解得b ＝3﹣3，∴A 2的横坐标是6+2b ＝6+6﹣6＝6， 同理可以得到A 3的横坐标是6，A n 的横坐标是6，根据等腰三角形的性质得到y 1+y 2+…y n 等于A n 点横坐标的一半， ∴y 1+y 2+…y n ＝． 故答案为：．（方法二）设OA 1＝2a 1，A 1A 2＝2a 2，A 2A 3＝2a 3，…，A n ﹣1A n ＝2a n ，∴A 1（2a 1，0），A 2（2a 1+2a 2，0），…，A n （2a 1+2a 2+…+2a n ，0）． ∵△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n ，…，都是等腰直角三角形，∴y 1＝a 1，y 2＝a 2，y 3＝a 3，…，y n ＝a n ，x 1＝a 1，x 2＝2a 1+a 2，x 3＝2a 1+2a 2+a 3，…，x n ＝2a 1+2a 2+…+a n ，∴y 1+y 2+…y n ＝OA n ．∵P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数y ＝（x ＞0）的图象上， ∴a 12＝9，（2a 1+a 2）a 2＝9，（2a 1+2a 2+a 3）a 3＝9，…，（2a 1+2a 2+…+a n ）a n ＝9， ∴a 1＝3，a 2＝3﹣3，a 3＝3﹣3，…，a n ＝3﹣3，∴y 1+y 2+…y n ＝a 1+a 2+…+a n ＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3．故答案为：．三．解答题（共5小题）19．解：（1）由题意A （﹣2，4），B （4，﹣2）， ∵一次函数过A 、B 两点， ∴， 解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +2；（2）设直线AB 与y 轴交于C ，则C （0，2）， ∵S △AOC ＝×OC ×|A x |，S △BOC ＝×OC ×|B x | ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝•OC •|A x |+•OC •|B x |＝＝6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜4．20．解：（1）材料加热时，设y＝ax+15（a≠0），由题意得60＝5a+15，解得a＝9．则材料加热时，y与x的函数关系式为y＝9x+15（0≤x≤5）．停止加热时，设y＝（k≠0），由题意得60＝，解得k＝300．则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y＝（x≥5）；（2）把y＝15代入y＝，得x＝20，因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．21．解：（1）把A（2，1）代入y＝，得：m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，则S＝×1×1+×1×2＝；△AOB（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．22．解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝；（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），＝AF•BE＝×k（3﹣k），∴S△EFA＝k﹣k2＝﹣（k2﹣6k+9﹣9）＝﹣（k﹣3）2+当k＝3时，S有最大值．S＝．最大值23．解：（1）如图1，过点P作PQ⊥x轴交x轴于点Q，∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，0），∴设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+10．∵点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为5，∴PQ＝2，点P纵坐标为2．∵点P在直线AB上﹣2x+10＝2，解得x＝4，∴点P坐标为（4，2）∴此反比例函数的解析式为y＝；（2）如图2，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，过点P作PS⊥x轴交x轴于点S，∵∠AOB＝60°，∠EFO＝90°，OE＝4，∴OF＝2，EF＝2，∴此反比例函数的解析式为y＝．＝＝OC•PS，∵S△OCP∴OC•PS＝3．∵OS•PS＝4，∴CS•PS＝．∵∠AOB＝60°PC∥OA，∴∠PCS＝60°，∴PS＝CS，∴CS＝1．∴点P坐标为（4，）．。