08 平面向量
（九）平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
（3）理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量是每年高考的必考知识点，一般以“一小”的形式呈现，多为容易或中档题.预计在2019年的高考中，仍将以“一小”的形式进行考查，命题的热点有如下四部分内容：
一是给出三角形或四边形的背景，考查平面向量基本定理，难度为容易或中档；
二是考查平面向量的共线或垂直的坐标表示，多是求参数的值的问题，难度为容易或中档；
三是考查平面向量的数量积或夹角，难度多为中档；
四是考查求平面向量的模或求模的最值，难度为中档或高档.
虽然近五年在小题中较少考查平面向量与其他知识相交汇的内容，但有关平面向量与三角函数、解析几何、基本不等式、概率等知识相交汇的内容也需给予关注，在2019年高考中有可能成为新的命题点.
考向一平面向量的线性运算
样题1 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF
A．B．
C．D．
【答案】D
故选D.
【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.利用向量的三
角形法则和向量共线定理可得：，1=2AF AE ，，1=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.向量的运算有两种方法： 样题5（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若
，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．
C
D ．2 【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设, 易得圆的半径
r =，即圆C 的方程是，
，若满足，
则21x y μλ
=⎧⎨-=-⎩ ，，所以， 设，即，点(),P x y 在圆上，
所以圆心(20),到直线的距离d r ≤，即，解得13z ≤≤，
所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考向四向量与其他知识的综合
样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，OA与OC的
m n∈R，则夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若(,)
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m n
【答案】3
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．。