域，如图中△ABC内部且包括边界，点(0,0)
不在这个三角形
y
x 1
区域内，当z=0 时，点(0,0)在直 线l0: 2x+y=0上.
4C
l0
2
B
O
2
x4y30
A
3x5y2 50
4 6x
示例
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
y
x 1
4C
l0
2
B
O
2
x4y30
A
3x5y2 50
4 6x
B
大值时，z的值最大. O 2
x4y30
A
3x5y2 50
4 6x
在经过不等式组(1)表示的三角形区域内的点且
平行于l的直线中，
以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大， 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
所以，
y
x 1
zmax=2×5+2=12， zmin=2×1+1=3.
x y1
解：先作出可行域，见图中△ABC表示的 区域, 且求得 A(1,1)、 B(1,1)、 C(2,1).
22
y
O
1
B(1,1)
11 A( , )
22
1x
C(2, 1)
解：先作出可行域，见图中△ABC表示的
区域, 且求得 A(1,1)、 B(1,1)、 C(2,1).
22
作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的 利润为z，则z=2x+3y.上述问题就转化为：
当x、y满足不等式※并且为非负整数时，z的 最大值是多少？
基本概念
1.上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的
约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次
不等式，所以又叫线性约束条件.
x 2 y 8,
由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，所 以又叫线性目标函数.
基本概念
3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的最大值或最小值的问题，统称为线性 规划问题. 4.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 5.由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6.使目标函数取得最大值或最小值的可行 解，它们都叫做这个问题的最优解.
l1 4
C
l2
x4y30
2
B
O
2
A
3x5y2 50
4 6x
动手提高
[练习] 解下列线性规划问题：
求z＝2x＋y的最大值和最小值，使式中的x、
y满足约束条件
y x
x
y
1.
y 1
解：先作出可行域，见图中△ABC表示的 区域, 且求得
y x
x
y 1.
y 1
y
y x
OA
y 1 1
B
1x C
示例
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
y
x 1
4C
l0
2
B
O
2
x4y30
A
3x5y2 50
4 6x
示例
作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
考虑z＝2x＋y，将它变形为y＝－2x＋z，
这是斜率为－2、
y
x 1
随z变化的一族平
行直线. z是直线
4C
在y轴上的截距， l0
2
所以当截距取最
平移到直线l1过B点时，可使
z=2x+y达到最小值，当l0 l0 y
平移到直线l2过C点时， 可使z=2x+y达到最大值.
l1
O
1
11 A( , )
22
1x
zmin=2×(1)+(1)=3， B(1,1) zmax=2×2+(1)=3.
C(2, 1)
l2
解线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域； 第二步：令z＝0，画直线l0； 第三步、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件 可得二元一次不等式组：
x 2 y 8,
4 4
x y
16, 12,
(※)
x
0,
y 0 .
引入新课
1.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生 产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多 可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每 天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？
4 4
x y
16, 12,
(※)
y3
x
0,
y 0 .
8
x
x2y8
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的 利润为z，则z=2x+3y.上述问题就转化为：
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
4 4
x y
16, 12,
(※)
x
0,
y 0 .
基本概念
1.上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的 约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次 不等式，所以又叫线性约束条件.
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有 时也用一次方程表示.
基本概念 2.欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y叫 做目标函数.
示例
[例1] 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足
下列条件：
x 4y 3, 3x 5y 25,
(1)
x 1,
求z的最大值和最小值.
示例
x 4 y 3, 3 x 5 y 25, x 1,
(1)
y
x 1
4C
x4y30
2
B
O
2
A
3x5y2 50
4 6x
示例
我们先画出不等式组(1)表示的平面区
小结
解线性规划问题的步骤： 第一步：根据约束条件画出可行域； 第二步：令z＝0，画直线l0； 第三步：观察，分析，平移直线l0，
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已 知条件可得二元一次不等式组： (2)将上述不等式组表示成平面上的区域，
图中的阴影部分中的整点(坐标为整数的点)
就代表所有可能的日生产安排，即当点P(x,y)在
上述平面区域中时，所安排的生产任务x，y才有
意义. y
4 2
O
2
x4
x 2 y 8,
简单的线性规划问题(1)
引入新课
1.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生 产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多 可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每 天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已 知条件可得二元一次不等式组：
从而找到最优解； 第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.
示例
[例2] 求 z＝x－y的取值范围，使式中变量x、 y满足约束条件：
x2y2 0
x
2
0
y 1 0
示例
[例3] 求 z＝x－y的最大值和最小值，使式中 变量x、 y满足约束条件：
x 2 y 7 0,
4
x
3
y
12
0
,
x 2 y 3 0 .