§6.3 等比数列
一．课程目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与指数函数的关系.
二．知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示. 数学语言表达式：a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －
1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －
m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .
(2)数列}{},{),}({n n n n b a a c a c ⋅≠⋅0（}{n b 是等比数列），}{2
n a ，}{
n
a 1
等也是等比数列。

(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (5)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列. (6)当n 是偶数时，q S S ⋅=奇偶; 当n 为奇数时，q S a S ⋅+=偶奇1
三．考点梳理
1.等比数列的概念及运算
例1.在单调递减的等比数列}{n a 中，若13=a ，2
5
42=+a a ，则1a ＝( ) A.2 B.4
C. 2
D.2 2
例2.公比不为1的等比数列}{n a 满足187465=+a a a a ，若91=m a a ，则m 的值为( ) A.8
B.9
C.10
D.11
例3.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.
2.等比数列的性质
例 1.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.
例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6＝( )
A.2
B.7
3
C.83
D.3
例3.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42
C.63
D.84
例4.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200
D.400或－50
例5.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12 B.13 C.14 D.15
例6.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等于( )
A.(3n －1)2
B.1
2
(9n －1) C.9n －1
D.1
4
(3n －1)
例7.在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________.
例8.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则)
(log 9753
1a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－15
C ．5
D ．15
例9.在各项均为正数的等比数列{a n }中，121253+=-=a a ,，则73622
32a a a a a ++=
（ ）
A.8 B ．6 C ．4 D ．248-
例10.若等比数列}{n a 的前n 项均为正数，且5
12911102e a a a a =+，则
=+⋅⋅⋅++2021a a a ln ln ln _________.
例11.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,若301163<<<<-a a ,,则9S 的取值范围是________.。