多变量线性回归方程的评价
• 建立了多变量线性回归方程后，只要将x1、x2、 x3、... ...xk的值代入方程
即可求得y的估计值 • 多变量回归方程建立后，需对其作出评价，包括三个方面： • （1）评价整个方程在α水准下有否显著性，可用F检验。 • 回归均方 • F = ─────，ν1 = k，ν2 = n-k-1 • 剩余均方 • 上式中k = 自变量的数目 • n = 观察的样本数
• y = b0 + b1x 或 • 上式y = 因变量拟合值（或预期的估计值） • • • x = 自变量观察值 a 或 b0 = 方程式中的截距，其含义是x = 0时的y值 b 或 b1 = 回归系数，相当于回归直线的斜率，它的含义 是指x每改变一个单位时，y的相应变化
回归系数b的估计
• Σ（yi-y）（xi-x） • b = ────────── • Σ（xi - x）2
• （j = 0,1,2,3……k）
• （i = 观察对象序号）
• 上式 y = 因变量（连续变量）
• b0 = 常数项，其含义同简单直线回归中的a
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b1、b2、b3......bk = 偏回归系数
e = 误差项
偏回归系数bk的含义
• b1的含义是指当b2、b3......的作用保持恒定后，x1改变一个单位时，y将
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求各个变量与其均数的离均差平方和、离均差积和
按最小二乘法原理，用逆矩阵法解出
• 已有现成的计算机软件可敷应用，十分方便，关键在于掌握
适用条件、正确解释结果。
标化偏回归系数
• • 偏回归系数bi的大小与自变量xj的取值范围宽窄有关 偏回归系数是有量纲的，由于各自变量的单位（量纲）不同，它们的偏回归系数 无法直接比较
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ν= 自由度
• 算得F值后，查F值表即可知P值
直线回归方程的评价（ຫໍສະໝຸດ ）• t检验 • b b • t = ── = ───────────，ν= n-2 • sb √[Σ（yi-y）2 /（n-2）]
• 上式 b = 回归系数 • • • sb = 回归系数b的标准误 用于衡量y的估计值yi的精确性 可用于估计b的可信区间
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如欲比较，需求标准化偏回归系数bsj，其与xj的单位无关
Σ（xj- x）2 /（n-1） bsj = bj × √[───────────] / sy Σ（yi- y）2 /（n-1） √[Σ（xj- x）2] = bj×───────── / sy。 √[Σ（yi- y）2] 或bsj= bjsj÷σy，或 bsj = bisj / √var by 式中sj为xj的标准差，σy为yi的标准差。
多变量线性回归分析
多变量线性回归分析
• 如果对因变量y（发生疾病或死亡或其它结局效应）能产生 影响的自变量x（或称预测变量、危险因素、混杂因素、效 应修饰因素）的数目不止1个，而有k个 • 上述（简单）直线回归方程即可写成多变量线性回归方程
多变量线性回归方程
• y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3......+ bkxk + e • = b0 + Σbjxj + e
• 算得t值后，查t值表即可知P值。
直线回归方程的评价（续）
• （2）计算决定系数（R2，coefficient of determination） • Σ（yi-y）2 回归平方和 • R2 = ───── = ────── • Σ（yi-y）2 总平方和 • R2数值上与相关系数 r的平方相等，取值在0~1之间 • R2含义是“回归方程总变异中可由x解释部份所占百分比”。
标化偏回归系数（续）
• bj÷σy表示xj改变一个标准差时yi的改变 • 如xj以克表示与xj以千克表示时，前者的bj只有后者的1/1000， 而后者的σy也较前者大1000倍 • 但bj /σy不变，即bj /σy与单位无关 • 比较不同自变量的bj /σy大小，可找出绝对值最大的bj /σy • 其相应的xj即为对y作用最大的自变量
多重线性回归模型
直线回归分析
直线回归的回顾
• 最简单的直线回归分析是研究两个变量之间的依存关系。 • 如果因变量y（某种疾病或健康危害或其它结局效应）与自变 量x（某种病因或危险因素）之间有依存关系，且在散点图上 呈直线趋势，x与y的关系可用简单直线回归方程式来表示。
简单直线回归方程式
• y = a + bx 或
直线回归分析的例子
• 某研究显示的成人收缩血压与体重间依存关系的直线回归方程如下：
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y = 90.243 + 0.275x
• 上式y = 收缩血压（mm Hg） x = 体重（磅）
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a = 90.243
b = 0.275 sb = 0.0816
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t = 3.371，P = 0.0050
• 据此，知道了个体的体重即可估计其收缩血压 • R2 = 0.4664，说明体重可解释方程总变异的约46%
相应平均改变的（b1个）单位
• 或是在x2、x3、......xk与x1、以及x2、x3、…...xk与y的线性关系除去后，
x1改变一个单位时，y将相应平均改变b1个单位 • 多变量线性回归中，估计某个自变量的作用时，调整了其它变量的影响 • b1为正时，随x1增加y也增加 • b1为负时，随x1增加y就减少
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Σxiyi -（Σyi）（Σxi）/ n = ────────────
• Σxi2 -（Σxi）2 / n • a = y - bx
线性回归图示
（IMT与SBP）线性回归散点图
直线回归方程的评价
• 求出回归方程后，需对方程的意义作出评价，包括两方面：
• （1）回归系数的显著性（假设）检验： • 可用方差分析的F检验，也可用t检验，两者的结论一致 • F检验 • Σ（yi-y）2 / 1 • F = ─────────，ν1 = 1，ν2 = n -2 • Σ（yi-y）2 /（n-2） • 上式中n = 观察的样本数
偏回归系数bk的含义
• b2的含义是指当b1、b3、......bk的作用保持恒定后，x2改变一 个单位时，y将相应平均改变b2个单位
• b3、......bk的含义可依次类推
多变量线性回归分析（续）
• 建立多变量线性回归方程的关键是求出各个偏回归系数bj • 偏回归系数估计方法： • 先收集一组变量的原始数据