空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。

二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。

作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。

由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。

∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos 3π=3×21=23∴AO=4cosπAM=223。

又在Rt△AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29，∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。

题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是63,2，这个长方体对角线的长是 A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D 。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。

∵E、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可。

＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，求四棱锥P －ABCD 的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。

在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ， 于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。

∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2。

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。

在能力方面主要考查空间想象能力。

例6．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。

（如图所示）（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C 。

解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C 。

又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面AB C 。

由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC 。

（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC 。

∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角。

在Rt△SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10。

在Rt△SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ，∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt△SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ，S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225， ∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯。

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。

要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。

题型4：锥体体积、表面积综合问题例7．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=。

G O C O G C =+=+=+=222232218422()。

而GC⊥平面ABCD ，且GC ＝2。

由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。

构造以点B个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9．如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h 。

（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ； （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）（Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G 。

如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形。

∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =db h -2（b ＞d ）， ∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （Ⅱ）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ， 又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF 。

∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF 。

∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D 。

（Ⅲ）V 估＜V 。

证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h db c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h（a －c ）（b －d ）＞0。

∴V 估＜V 。

点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。

考查了考生继续学习的潜能。

例10．（1）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′ D．S 02＝2S ′S（2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243，V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B 。