《算法设计与分析》实验报告一
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日期： 20161230 得分：
一、实验内容：
TSP问题
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：
1、蛮力法
1）基本思想
借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。
首先构造距离矩阵，任意节点
到自身节点的距离为无穷大。
在第一行找到最小项a[1][j]，从而跳转到
第j行，再找到最小值a[j][k]，再到第k行进行查找。
然后构造各行允
许数组row[n]={1,1…1}，各列允许数组colable[n]={0,1,1….1}，其中1
表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经
被访问。
如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。
程序再
发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次
访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会
返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。
2）复杂度分析
基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n 个点，则计算的次数为n^2-n。
T(n)=n*(n-1)=O(n^2)。
2、动态规划法
1）基本思想
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3->城
市0(0为起点城市)。
此时d(i, V’)=Cis(就是城市i 到城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。
你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。
d(i, V’)=min{Cik +d(k, V’-{k})}
注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。
综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：
2）复杂度分析
和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。
3、回溯法
1）基本思想
确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以
深度优先方式搜索整个解空间。
这个开始结点成为活结点，同时也成
为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点
即成为新的活结点，并为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不
能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
此时，应往回
移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩
展结点。
回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所
要求的解或解空间中已无活结点时为止。
回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然
后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对
应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子
树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点
的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。
采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递
参数，将数组mp设置为全局变量，设数组x[n]表示哈密顿回路经过
的顶点。
2）复杂度分析
在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj(1<=I,j<=n,i!=j),则
可能解应该是（1,2,…,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!
个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。
当找到可行的最优解时，
算法停止。
根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为O（n！）。
4、分支限界法
1）基本思想
分支界限法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优势的方式搜索问
题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常
见的有子集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分支界限法与回
溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方式不同。
在
分支界限法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一
旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，
导致不可行解或导致非最优解得儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加
入活结点表中。
算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队
列。
堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。
接着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。
如
果所给的有向图中某个顶点没有出边，则该图不可能有回路，算法即
告结束。
如果每个顶点都有出边，则根据计算出的minout作算法初
始化。
2）复杂度分析
目标函数（限界函数），lb分为三部分，第一部分是经过路径的长度
相加的2倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加（不在
已知路径上的），加上第三部分除了路径上节点，矩阵中两个最短的
距离相加，最后这三部分和相加，得到的结果除以2便是每个节点的
限界值。
由于限界函数的不同，下界为O（n），上界为O（2^n）,智
力特定指出。
三、源程序及注释：
1、蛮力法
int main()
{
int i,j,s=0;
int **a;
printf("输入节点个数：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入%d维对称矩阵：\n",n);
colable=(int*)malloc((sizeof(int))*n); colable[0]=0;
//对各列允许矩阵进行赋值
for(i=1;i<n;i++)
{
colable[i]=1;
}
row=(int *)malloc((sizeof(int))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
row[i]=1;
}
a=(int **)malloc((sizeof(int*))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
a[i]=(int *)malloc((sizeof(int*))*n); }
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j])'
}
}
i=0;
while(row[i]==1)
{
j=min(a[i]);
row[i]=0;
colable[j]=0;
printf("访问路径：\n");
printf("\t%d-->%d\n",i,j);
s=s+a[i][j];
i=j;
}
printf("最短总距离为：%d\n",s);
}
int min(int *a)
{
int j=0,m=a[0],k=0;
while(colable[j]==0||row[j]==0)
{
j++;
m=a[j];
}//求最短距离
for(;j<n;j++)
{
if(colable[j]==1&&row[j]==1)//节点没有被访问
{
if(m>=a[j])
{
m=a[j];//m始终保持最短距离
k=j;
}
}
}
return k;
}
2、动态规划法
q.push(next); }
}
}
return ret;
}
四、运行输出结果：
（1）蛮力法
（2）动态规划法
（3）回朔法
（4）分支限界
五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和发展的，也可以称之为TSP问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。
我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解决此类延伸问题时容易调试和修改。
学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。
有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决。