高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审视】1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。

（理科：兼顾反三角）2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。

3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。

4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。

5、掌握)sin(ϕω+=x A y 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。

6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。

7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。

8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。

【疑难点拔】一、概念不清例1．若α、β为第三象限角，且βα>，则（）（A）βαcos cos >（B）βαcos cos <（C）βαcos cos =（D）以上都不对错解选（A）分析：角的概念不清，误将象限角看成类似23,(ππ区间角。

如取34,672πβππα=+=，可知（A）不对。

用排除法，可知应选（D）。

二、以偏概全例2．已知m =βsin ，求βcos 的值及相应β的取值范围。

错解当β是第一、四象限时，21cos m -=β，当β是第二、三象限时，21cos m --=β。

分析：把β限制为象限角时，只考虑1||<m 且0≠m 的情形，遗漏了界限角。

应补充：当1||=m 时，0cos ),(2=∈+=βππβZ k k ；当0=m 时，1cos ),(=∈=βπβZ k k ，或1cos -=β。

三、忽略隐含条件例3．若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。

错解移项得1cos sin >+x x ，两边平方得)(222,02sin Z k k x k x ∈+<<>πππ那么即)(2Z k k x k ∈+<<πππ分析：忽略了满足不等式的x 在第一象限，上述解法引进了1cos sin -<+x x 。

正解：1cos sin >+x x 即14sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得)(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ∴)(222Z k k x k ∈+<<πππ四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．设α、β为锐角，且α+β︒=120，讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。

错解)cos(211)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y可见，当1)cos(-=-βα时，23max =y ；当1)cos(=-βα时，21min =y 。

分析：由已知得︒<<︒90,30βα，∴︒<-<︒-6060βα，则1)cos(21≤-<βα∴当1)cos(=-βα，即︒==60βα时，21min =y ，最大值不存在。

五、忽视应用均值不等式的条件例5．求函数)20,0(sin cos 2222π<<>>+=x b a xb x a y 的最小值。

错解)12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab xb x a y ∴当12sin =x 时，aby 4min =分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。

正解：2222222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=当且仅当x b x a cot tan =，即ab x =tan ，时，2min )(b a y +=专题四：三角函数【经典题例】例1：点P 从（1，0）出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（）（A ）23,21(-（B ）21,23(--（C ）)23,21(--（D ）21,23(-[思路分析]记POQ ∠=α，由三角函数定义可知Q 点的坐标),(y x 满足ααsin ,cos r y r x ==，故选（A ）[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例2：求函数x xx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.[思路分析] =)(x f 212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。

此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。

例3：已知2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+，1cot tan sin 22--+ααα求的值.[思路分析]∵)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,4cos 21)42sin(21ααπ=+=∴得.214cos =α又.125),2,4(παππα=∈所以于是ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+.325)3223()65cot 265(cos)2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα[简要评述]此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。

一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。

如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。

例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x ++2对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf （1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。

[思路分析]（1）令α=2π，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,0)(≥x f 当31≤≤x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；（3）由上述可知，[-1，1]是)(x f 的减区间，那么,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f [简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。

例5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数43sin(log 21xy ππ-=的单调递增区间是Z k k x k ∈+<≤-]348328[；（2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π=x 对称，则a 的值是1；（3）把函数)43sin(π+=x y 的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8sin(π-=x y ；（4）若函数2||,0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A B x A y 的最大值是22，最小值是2-，最小正周期是32π，图象经过点（0，-42），则函数的解析式子是22)63sin(223+-=πx y ；[思路分析]略[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。

上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。

例6：函数xx xx f cos sin 12sin )(++=（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x 值。

[思路分析]（1）{x|x 222ππππ-≠-≠k x k 且}Z k ∈(2)设t=sinx+cosx,则y=t-142,12maxππ+=-=k x y Zk ∈[简要评述]若)(x f 关于x x cos sin ±与x x cos sin ∙的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令x x t cos sin +=，使问题得到简化。

ABCD例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；（2）求角B 的取值范围。

[思路分析]（1）条件等式降次化简得b c a B C A 2sin 2sin sin =+⇒=+（2）,2182682)(322(cos 22222=-≥-+=+-+=ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，得B 的取值范围]3,0(π[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。

例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？[思路分析]CD=αcot h hS-,C=)cot sin 2(αα-+h h S ,转化为考虑y=ααsin cos 2-的最小值，可得当3πα=时，y 最小，即C 最小。

[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。

【热身冲刺】一、选择题：1．若100≤≤a ，则满足a sin =0.5的角a 的个数是（C）（A）2（B）3（C）4（D）52．为了得到函数62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（B ）（A）向右平移6π个单位长度（B）向右平移3π个单位长度（C）向左平移6π个单位长度（D）向左平移3π个单位长度3．已知函数,sin )(x x f -=，则下面三个命题中：（1）04()1(>-πf f ；（2）043()2(>-πf f ；（3）0)43()3(>-πf f ；其中正确的命题共有（B ）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4．若)(x f 是奇函数，且当x >0时，x x x f sin )(2+=，则当x R ∈时，)(x f 为(C )（A）x x sin 2+（B）xx sin 2-（C）|x |x x sin +（D）|x |xx sin -5．函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，则θ等于（D）（A）πk （B）6ππ+k （C）3ππ+k （D）3ππ-k 6．如果圆222k y x =+至少覆盖函数kx x f πsin 3)(=的一个最大值点和一个最小值点，则k 的取值范围是（B ）（A）3||≥k （B）2||≥k （C）1||≥k （D）2||1≤≤k 7．若x ∈[5,123ππ--]，则y＝2tan()tan()cos()366x x x πππ+-+++的最大值是（C ）（A）125（B）116（C）116（D）1258．．函数x x y cos 2sin 2+=在区间[],32a π-上的最小值为-41，则a 的取值为（C ）（A）[),32+∞π（B）[0，]32π（C）[]32,32ππ-（D）]34,32(ππ-9．若△ABC 面积S=)(41222c b a -+则∠C=（C）（A）2π（B）3π（C）4π（D）6π10．已知向量),1,0(),,2(),sin 2,cos 2(-=∈=b a ππϕϕϕ则a 与b 的夹角为（A ）（A）ϕπ-23（B）ϕπ+2（C）2πϕ-（D）ϕ二、填空题：11．若)(x f 是以5为周期的奇函数，)3(-f =4,且cos 21=α，则)2cos 4(αf =-4.12．函数y =lg(sin x cos x )的增区间是Z k k k ∈+]4,(πππ13．用][x 表示不超过实数x 的最大整数。