取 Oxyz 坐标系如图，
y
FD
Fz 0
D
P1 P FA FB FD 0
0.2P1 1.2P 2FD 0 0.8P1 0.6P 0.6FD 1.2FB 0
解得：
FD 5.8kN
FA 4.423kN
FB 7.777 kN
39
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量为 P，受水平力 F = 2P， 求：各杆的内力
Fy 0
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300
F2 cos 450 cos 300 0
Fz 0
x
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300
FA cos 300 P 0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
Fz i
i 1
7
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可 按照以下公式进行计算。
FR FRxi FRy j FRz k
合力的大小： 合力的方向：
FR FRx 2 FRy 2 FRz 2
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
COS( FR ,i )
FRx FR
z D
E
α F2
B
F1 α P
A
y
FA
12
空间汇交力系在任一平面上的投影 →平面汇交力 系
z D
E
空间汇交 力系平衡，投影得到的平
C
α F2
面汇交 力系也必然平衡。 sin 300 F1 cos 450 cos 300 F2 cos 450 cos 300 0
这三个因素可以用一个矢量来 表示，记为：
F
rA
O
y
MO
F
x
14
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
MO F F h 2OAB
（2）力矩矢通过O点
MO
F
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指
向由右手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
MO
F
r
F
x
z
r h O
B
F
A y
15
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
48
二、工程中常用的确定重心的方法
1、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
2、复杂几何形状的物体 组合法
3、实验法
49
空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。
FR 0 M O 0 上述公式的投影方程为：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x Fi 0
M y Fi 0
M z Fi 0
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
28
空间平行力系的平衡条件：
显然 ：
Fx 0
（按照右手螺旋法则决定之）
22
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量在某一轴 上的投影,等于该力对该轴之 矩。
MO F
γ Mz F
C
γ
M
z
F
MO
FZ
即：
M z F M O F cos
23
结论的说明：
M O F 2OAC
MO F
γ Mz F
COS( FR , j )
FRy FR
COS( FR , k )
FRz FR
8
2、空间汇交力系的平衡
• 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
由于
n
FR
Fi 0
i 1
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
空间汇交力系的平衡条件：
Fx Fy
0 0
Fz 0
M x F Fz AB CD A F cos l a
M y F Fz BC
x
F cos l
M z F Fx AB CD F sin l a
C
D
E
Fy
θ
Fz
B
F
y
Fx F sin Fz F cos
26
方法二:利用公式计算
z
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
9
例题：已知： CE EB ED, 300 , F 10kN
求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E
α
C B
α
F
A
y
x
10
解：取起重杆AB为研究对象
建坐标系如图，
C
z D
E
α F2
B
F1 α P
A
y
x
FA 11
列平衡方程：
Fx 0
F1 sin 45 0 F2 sin 45 0 0
C
α
Fx
x
γ Fy
y
3
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F c os
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
z
FZ
F
γ
第二次投影
Fx Fxy cos
φ
Fy
最后得：
Fx
Fxy sin F sin c os x
Fx
Fxy
Fy
y
Fy F sin sin
重心：物体重力的合力 的作用点
图示物体，△Vi 体积的重力为
O
Pi
x 物体总重量 P 为
P Pi
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
y
yi
xi
xc
yc
47
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi
xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
a
F
A
E
b
D
P
H
B F
C
b
G
40
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结构的受力图如下。
a
D
F
A
F3
F2
F1
H
E
b
C
F6
B
F5
b
P
F4
G
F
41
b
a
D
C
M AE 0 F5 0
FA
F3
P
B
F5 F6 b
M AC 0 F4 0
F2 F1 H
F4
M AB 0
G
E
F
F6a
P
a 2
0
F6
P 2
Fz F c os
4
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
4m
600 F2
F3
Fx2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
力矩矢量的方向
F
MO
按右手定则
r
MO r F
16
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
MO
F
r
F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx
k
Fz
F
Fx
r
Fy
17
二、力对轴之矩
1、定义:
力使物体绕某一轴 转动效应的量度,称 为力对该轴之矩.
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
25
例题
已知：AB = BC = l， CD = a， 力 F 位于垂直于 y 轴的平面内，偏 离铅垂线的角度为θ
求：力F对x、y、z 轴的矩 z
方法一:将力向三个坐标轴方 向分解后，直接计算
A
x FA
Fz 0,
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 FA cos 300 P 0
yE
2 2
F1
F2
B
α
P
A
y
FA
13
§3-2 力对轴的矩 一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于：
（1）力矩的大小
z
（2）力矩作用面的方位
MO
F
B
（3）力矩在作用面内的转向
二、空间汇交力系的合成和平衡
• 1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作
用点（线）通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn
Fi
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投 影的代数和。
n
FRx
Fx i
i 1
n
FRy
Fy i
i 1