3
1
0
1
0
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为p1
1. 1
所以k1 p1(k1 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 4时,由 2
x x 4 3
x x
1
解得x1
1
4
3
1 2
0 0
,即11
1
1
1 2
0 0
,
x2,所以对应的特征向量可取为p2
2x1 x2 x3
0
0
可
取特征向量
0
p3
1
1
33
1 0 0
这三个线性无关的特征向量可以拼成可逆矩阵
P
0
1
1
1
0 1 1
使得
P 1
AP
1
A
1
下面通过检验矩阵等式 AP P 验证上述矩阵等式是否正确
1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0
0
1
0
1
1
0
可取解
1
p1
1
1
属于2 3=2的特征向量满足：
1 1 1 1 1 1
2
E3
A
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
1
0
可取两个线性无关的解
p2
0
,
p3
1
1
1
这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量.
36
1 1 0
例3
求出
A
4
3
0
1 0 2
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
28
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
29
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
26
一、相似矩阵与相似变换的概念
例
A
1 2
2
4
求Ak
特征值：1=0，2 =5
特征向量：p1
2
1
,
p2
1
2
线性无关.
令P=
p1
,
p2
2
1
1
2
27
AP=A p1 , p2 Ap1 , Ap2 1 p1 , 2 p2
0 p1
,
5 p2
p1
,
p2
0
5
P
所以 P1AP A PP1
1 1 1
-2 0 2
1 1 1
10
=(-2)2 1 1 0 ①+1 ③( 2)2 1 1 0
1 01
1 01
按第三列展开( 2)2 ( 1)
35
它有三个根：1 1, 2 3 2.
属于1=1的特征向量满足：
x1
x2
x3 0 2x2 x3
0
x1 x2 0
即
x3 x2 x1 x2
E A p 0 有非零解的 值 , 即满足方程
E A 0的 都是矩阵 A 的特征值.
2. 齐次线性方程组 i E A x 0 的所有非零
解向量就是 n 阶方阵 A的对应特征值 i 的
所有特征向量 .
6
例1 当 2E A =0时，2就是A的特征值； 当 E+A =0时，即(-1)n E A =0， 所以-1就是A的特征值.
A
0
0
1
,
B
0
y
0
0 1 x 0 0 1
(1)求出参数x与y的值
(2)求出可逆矩阵P使得B P1AP
解 （1）因为|A|=-1,|B|=-y,所以，根据|A|=|B|立刻得到y=1. 再根据tr(A)=tr(B),即1+x=y,立刻得到x=0. (2)根据A与B相似而B为对角矩阵立刻知道，A的特征值就 是B的对角元1,1，-1.
第五章 特征值与特征向量
知识结构
特征值、特征向量
特征值与 特征向量
相似变换 向量内积、正交矩阵
实对称矩阵的相似标准型
1
5.1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
2
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设 A 是 n 阶方阵,若数 和 n 维非零 列向量 p 使关系式 A p = p 成立,则称数
例9 n阶方阵A满足A2 E, 证明A的特征值只能是 1
22
例10 A 不可逆 A有一个特征值为0.
证明：“” A 0,
A 0E A 0
0为A的一个特征值。
“” 由已知有：A 0E 0，即 A 0
23
A 可逆 A的任一个特征值都不为0. 证明：“” 设存在 0，
则有 A 0E A 0，矛盾. A的特征值都不为0。
20
定理3
设 A为n 阶方阵，f (x) am xm ...+a1x a0为m次多 项式，f ( A) am Am ...+a1A a0En对应的方阵多项式.
则: (1)若为A的特征值，则f ()为f ( A)的特征值;
(2)f ( A) O时，A的特征值为f (x)=0的所有根.
特别的，若为A的一个特征值，则 1 为A-1的一个
线性无关的特征向量.而在例3中，对应于二重特征值
2 3 1 却找不到两个线性无关的特征向量.
事实上，这与特征矩阵的秩有关.
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
称 E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
5
二、特征值与特征向量的求法
由特征值和特征向量的定义，不难发现 1. n阶方阵 A的特征值 , 就是使齐次线性方程组
为方阵 A 的特征值,非零列向量 p 称为 A 的对
应于特征值 的特征向量.
说明 1. 特征向量 p 0 .
2. 特征值问题只对方阵而言 .
3
例
1 21 3 1
2
1
1
=
3
=31
3是
1
2
2
1
的一个特征值，
1 1
是
1 2
2
1
的属于3这个特征值的特征向量
4
a11
定义2
E A
2
3
2 1 0 1 0 1
E
A
4
2
0
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
13
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
14
例5
设
2 A 0
1 2
Байду номын сангаас
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
E A 0 2 0
1 0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 2时,解方程(2E A)x 0.由 1
12
3 1 0 1 0 0
2E
A
4
1
0
0
1
0 ,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0,
1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 1时,解方程(E A)x 0.由
17
三、特征值与特征向量的几个结论
命题1 实方阵的特征值未必是实数，特征 向量未必是实向量.
例
A=
0 1
1 0
命题2 三角矩阵的特征值就是所有对角元.
命题3 A的特征向量不可能属于不同的特征值.
定理1 A与AT具有相同的特征值.但同一 特征值的特征向量不一定相同.
证： E A E AT E AT
用来求特征向量的齐次线性方程组为
1 0 0 x1 0
0
1
x2
0
0 1 x3 0
32
属于特征值1
2
1的特征向量满足x2
-x 3
=0，而x 1
可任意取值，所以有两个自由未知量x1和x2.可取
两个线性无关的特征向量：
1 0
p1
0
,
p2
1
属于特征值3
0
1
=-1的特征向量满足
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
21
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
15
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1