§ 6.1测地曲率 1.证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明：设旋转面方程为 r 二{ f(v)cosu, f (v)sin u, g(v)},1= f 2(v)(du)2 + (f 2(v) +g"v))(dv)2，E 二 f 2(v),G = f 2(v) g 2(v)纬线即u—曲线：V=V ° （常数），f '（V 。

）f （v 。

）、, f '2（v 。

）g '2（v 。

）2、证明：在球面Sr （acosucosv, acosusinv,asinu ），JI71u ,0 v 2 2 2上，曲线C 的测地曲率可表示成. d 日（s ） . / /、、dv （s ） k g sin （u （s ））-ds ds 7其测地曲率为k g1 ；:l n E2 好GIn f^f '2 g '2泊为常数。

其中（u（s）,v（s））是球面S上曲线C的参数方程，s是曲线C的弧长参数，C与球面上经线（即u-曲e （s）是曲线线)之间的夹角证明易求出 E=a 2, F=0, G=a 2cos 2u ,因此1 Jn E 1 ：：ln G = ------------- c os —=2 .G ：：v 2、、. E ；:u 2 2d v 1 ln(a cos u)sin ds 2a ；:ud r sin u si n,ds acosu ?3、证明：在曲面S 的一般参数系(u,v)下，曲线C :u =u(s),v = v(s)的测地曲率是 k g二,g(Bu (s) - Av(s) u (s)v (s) - v (s)u (s))，并且^11 n(u (s))2 2 ；2U (S )V (S )- ；2(V (S ))2，B -：(u (s))22^u(s)v(s)丨；2(v(s))2特别是，参数曲线的测地曲率分别为k g .二.g-121 (u (s))3， kg v二 n g 】122(v(s))3。

!k gdrds而dv1a cosu sinkgd ds-sin u色ds 其中s是曲线C 的弧长参数,g = EG-F 2，1 sin，c：s =*(s),u2二u2(s)证明设曲面S参数方程为= r(u1,u2)曲面S 上的曲线的参数方程为C : U i = U i (s),U 2 = U 2(s), s 为C 的弧长参数;n 为S上 沿C 的法向量;曲线八 Rs)二 Ru i(s),U 2(s)),2dU ii=ids ，b ij nk=1r (s)du i dU jrij -- d 2U i门勻 ds dsi =ids 2 ， i,j,k=1ijdsdsi,j =1d 2U kk=ids 2k ij代入计算 k g 2dU i 4=I z ..,i=ids iJdU j /d 2Udq dU jnds dsk=1d 2U k ids 2dUi dUj )r kds ds(r ,r ,n)ij1bijdq ds ds ，(也k \2"殂^)(1ij ds 2［訂胡ijds ds ix ijds ds=ijds ds2 dU i dU j ) i,j=ids ds由此得到du 2 d 2u 112( —a 丨12jds ds i,j=i以上是测地曲率的一般计算公式。

换回参变量 U i 二U,U 2二V ，即可得到结果。

上的任意参数，试导出测地曲率k g 的计算公式。

邛：=（1帶）,所以所以.g （t ）=%罟；记厂 u i,v = u 2又—弹，i dtdu 2 ds d 2q ds 2 2+ z r 1j ij i,j =〔ds ds珂r 性(M(dt(吧汙吟)］n/,r,n )(号)dt dtdt ds 3n)(ds ) 3 八 g l|r'||，k g 7［晋(黑 ds ds2ij du i dU j ) ds dsdqdujds ds)］，4. 若曲面 S : r=r （u,v ）上曲线 C :u = u （t ）,v = v （t ）,t 为曲线C而3 /生, dtd 2s dF ，r "iji 2i ，jdt dt i dt 2从而(r', r'', n) = (r ' r'') n由此得到:2 2 25、求椭球面—2 '—2 -1上由平面— —-1所截的截线在点A = (a,0,0)的测地曲率。

a b ca b1dU 2 dU dv dv 2=TEG=F^[(M ^LF)(ds ) +(心上口05+(心呵口)].证明 证法一 g = (n(s) r (s)) n ，2 2 2xv zx v z6、求椭球面 —22 =1上由平面1所截的截线在点 C = (0,0, c)的测地曲率。

a b cab cdm yd.dU i dUjL2dU i dU jd U k 4n 亠二 2咔，dt k dt 2打叫(咚2処叫) dU 2 d 2U 1dt "「dt" dt (希:「瞪轨 G ，||r'TdU idU j, jdt dtC g ij i,j 3[dU i dU j )2 dtdt dt2dU i dU j 、 du 2 /d 2q 「1 dq dUj^( ..2 6 j )] dt dt ' dt dt 2 i ，j 'Jdt dt1、 6、2 测地挠率对曲面 匕上的曲线-的测地挠率,duI 2i,jM（s）沧））農血）如）后|将n(s) du n v-dv, ；(s) =1%ds ds将n 代入，利用拉格朗日恒等式，得干 1g 1l；鱼l(ds)2-Ldu - MdvEdu Fdv—Mdu -NdvFdu +Gdv1iir u r v ii(ds)2Edu FdvLdu MdvFdu +GdvMdu + Ndv1llr u r v||(ds)2(ME -LF)(du)2 (NE -LG)dudv (NF -MG)(dv)21ur u In(ds)2(dv)2EL2-dudv (du)F GM N1• EG -F2dv(ds)du dvds dsFMdu 2(ds)得n n =r 斗nr v||1(打v,n||r u r,||1 n(s) r ul|r U牯；R（s）恤.沖代入，得ds ds从而g 川W )的|(rU,n9=(n (s )r (s ), n)T||41r ||(r u ,r v , n)2、设■ :r = r (s)是曲面3上的曲线，证明：-是曲率线的充分必要条件是勺=(n (s )F (s ),n )=o 。

证明 设】是曲率线，于是：(s)是主方向，则有n (s)//r (s)， 从而 g =(n (s ):(s ),n )=o ；若 g =(n (s), ：(s),斗)=0，则有 n (s),r (s),n 共面，于是有 n (s) = a^(s) bn ，而 n (s) 0，必有 b = 0，于是 n (s^ ar (s)，即得r (s)是主方向，-是曲率线。

llr u r v ||n (s) r u ：(s)；n (s )*i ir(s) r un (s) r V ；(s)； 0n (s )寸"(s) %将花)出理仁色,ds ds 1r (s) ^r u 包沖代入，得ds dsg =iir U h (ds )2-Ldu - MdvEdu Fdv Edu FdvLdu Mdv一Mdu - Ndv Fdu +Gdv Fdu +Gdv Mdu 十 NdvEG -F 2(ME -LF )(理)2 (NE - LG)dsdu dv ds ds(NF -MG)(dv )2ds-r'ru■吒4nTr呻n 呻n Jrn■1ids3、曲面二上一点p(u,v)处的单位法向量为n.设曲面匕上曲线】，以n的夹角.命九n ,d p设曲面三上曲线-在P点处的挠率和测地挠率分别为.,，则有・g = —ds显然，如果沿曲线有二常数，则对此种曲线有飞证明根据向量之间的关系，易得n = cos「：- sin「，■444=cos n sin ， "二sin * 一cos 呻，利用上述关系式及曲线论的Frenet公式，代入计算，得g —花)"(S)彳片・4=_[cos(s) -sin"「(s) sin「(s) cos「〔s)「(s)] ；(s)--[cos :(—k ：亠‘ )—sin ：(s) sin (_ ) cos "(s) :(s)] ¥(s)二cos2 ?sin?「：(s) sin?「cos2■ (s)=•「(s)。

I4、设曲面三：广= '(U,V)上的坐标曲线构成正交网.曲面二上曲线-的切方向与r u的夹角为二，则有.^1— knG1).g2dB证明在正交坐标曲线网下，我们有 F = 0，屯一1-cos，包一1-曲，d s 、、. E d s 、G将它代入测地挠率的计算公式，计算得T表示一与1 du 2du dv dv2 "TEG=F(ME"(訂+(NE-LG)dsh(N-MG)(d；)二―1—(M cos2八【一1一(NE —LG)sin 2刃, 、EG 2 Y EG心(小L(巴)22M巴巴N (巴)2ds ds ds ds二L 1cos2— 2M I COST sin r N EEG sin2",kn(R = 1EG(2M cos2：r J (NE - LG)sin 2旳,TEG1d2 drknG).5、证明: 曲面上任何两正交的方向的测地挠率之和为零* < 、证明在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程r r (u, 故有.g曲面上两正交方向与r u的夹角分别为二和一二，21 1由于.g(R ：-^=(M cos2「一(NE -LG)sin 2",g JEG 2<EG1 JT 1g( ~) = [M cos2( -) —:—(NE—LG)sin 2( -)]2 V EG 2 ^/EG 21 1-—(M cos2：- ------------- (NE-LG)si nA),EG 2.EG所以有g(R • yG jH0 .选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为k 1, k 2,22由欧拉公式，得 k n 二k 1 cos 二 k 2sin ,1 d1是厂2启人(小尹2一朋心 6、证明：曲面二: r r(u,v)上一点P 沿一方向(d)=du:dv 上的法曲率k n 为和测地挠率 g 之间满足：k 2" 2-2Hk + K = 0 ng n2 21证明 由 k n 二 k 2 cos 二 k 2sin ， g (k 2 -kjsin 2二，经过计算，可得k n 2 g 2 =k 22cos 2 v k 22sin 2 丁 - (k 2 k 2)(k 2cos 2 丁 k 2si n 2 - k 2k 2二 2H (k 2 cos 2 = k 2 sin 2 巧 - K 二 2Hk n - K ， 此即 k n 2g 2 - 2Hk nK = 0.!7、证明：极小曲面曲面-: …(u,v) 上一点P 沿一方向(d) = du : dv 上的法2 2 曲率ki 为和测地挠率 g 与曲面的Gauss 曲率K 满足：gk n K = 0 •8、 证明：若曲线为过曲面上一双曲点P 的渐近曲线，且 曲率k = 0，则曲线在P 点的挠率•和曲面在P 点的Gauss 曲率K 满足：• 2 - K =0 .2 2证明由条件可知，• g = • ,k n = 0，利用k n • • g - 2Hk n ^0，即得•• K = 0 •9、 试证明：在曲面的双曲点，主方向平分两渐近方向• 证:设曲面为S,渐近方向所对应得单位方向向量为v T p (S),从而dd-k n (R - -k 1 sin2r k 2sin2v -(k 2 —kjsin 2=取T p(S)在主方向下所对应的标准正交基为{©，叨，则v =ecosv e2sin 二,其中，是按T p(S)的定向从q到v的角，则沿v的法曲率由Euler公式,有k n = k, cos2 3- k2 sin2二，因为p是双曲点，不妨设k, 0,k2 <0,又v所对应的方向为渐近方向，所以k j cos v k2sin2 v - 0，解得哥=2从而可知主方向平分两渐近方向10 、证明：假定曲面上经过一双曲点P的两条渐近曲线在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等，符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率K .证明这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率,选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为k,, k2，且其中一条渐近曲线与r u成二角，则另一条渐近曲线与r u成一二角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为2 i ig(C = 2化2 _k i)sin 2寸，g(宀)=_ k,)sin( _2旳=_?(k2 _ k i)sin 2二，显然"gD = - ，■( = ) =「(J)，由于p) K =0,( (")) K =0,所以O = \ —K, (-)) - -、-K，§ 6.3 测地线1. 证明:柱面上的测地线必定是定倾曲线.证明 不妨设柱面的直母线与 Oz 轴平行， 故曲面方程可取为r =r (u,v)二｛f (u),g(u),v ｝，r U ={ f (u),g'(u),v'(u)}，r Uu ={ f (u), g (u),v (u)}，对于测地线，有(n,rp )=o ,g'-f' 0于是f'g八0，胖FFFFf g v可得(g 2f 2)v -(gg ff )v =0，由于u 为准线的弧长参数，所以有g 2(up f 2(u) =1， 从而 gg ff =2[g 2(u) f 2(u)] =0，2所以 v (u) =0，因而 v=Gu c ；由此，测地线族的方程为r ={ f (u), g(u),c 1u ■ c 2}COS 丁 -COS (7；d) - qllr ll 卩 II J g 2即测地线与Oz 轴(即直母线)成定角，从而形如 v= v(u)的测地线为定倾曲线。