高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.
限是否存在在：
（i ）数列{}
n x a 的 （ii ）x f x ∞
→lim
)( (iii)
x f x x =→lim 0
)( (iv)单调有界准则
（v （vi ）柯西收必要条件是：
ε∃>∀,01.2.洛必达（L ’ x 趋如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：
（i ）“
00”“∞
∞
”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通
项之后，就能变成(i)中的形式了。
即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)
()(1
)(1
)(1
)()(x g x f x f x g x g x f -=-
(iii)“00”“∞1”“0
∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e
x f x g x g x f )
(ln )()()(=，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。
3.泰勒公式(含有x
e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θ ； 3211253)!
32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m
x m x m x x x x x θ
cos=221242)!
22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1
1132++-n n n
n
n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ，
n x =n n ∞
→∞
→a x n n =∞
→
（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222
)2(1)1(11lim n n n
n
解：由n n
n n n n n
1
111)2(1)1(1102222
22
=+++<++++< ，以及01
0lim lim ==∞→∞→n
n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++∞
→n n n n n 2
221
211
1lim 解：由
n
n n n
n n
n n
n n
n n n n
n n +=
++++
+<
+++++
+<=++2
2
2
2
2
2
1111
211
111
11
,以及
11111lim
lim
lim 2
=+
=+=∞
→∞
→∞
→n
n
n n n n n 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。
例如：
求
()
12
321lim -∞
→++++n n nx x
x )1|(|<x 。
提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。
例如：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯∞
→)1(1321211lim n n n =1)1(11)1(1
131
21211lim lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-∞→∞
→n n n n n 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。
例如：
（1）已知
n a a 12,211+==+，且已知n a lim 存在，求该极限值。
A=1+2
（2 21<<+k k x x 。
所以，
{022=--A A 。
10. （i 11.n
n 快于n ！,n ！快12.换元法。
这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。
例如：求极限
x
x x 2sin 2arccos lim
π
-
→。
解：设t t x t x x t sin )2cos(,00,2arccos -=+=→→-=ππ且时，则。
原式=
2
1
sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim
lim
lim 0
0-=-=
-
=
-
→→→t t x
x x
x x
x t x x π
π
13．利用定积分求数列极限。
例如：求极限⎪⎭⎫
⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim 。
由于
n
i n i n +=+11
1，所以
2ln 11111111211121lim lim ==⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎰∞→∞→x n n n n n n n n n n 14.利用导数的定义求“0
0”型未定式极限。
一般都是x →0时候，分子上是“)()(a f x a f -+”的形式，看见了这
种形式要注意记得利用导数的定义。
（当题目中告诉你m '
=）（a f 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上
就是暗示一定要用导数定义）
例:设
)(,0)('
a f a f >存在，求()n
n a f n a f ⎥⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢⎢⎢⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞
→1lim
解：原式=n ∞→
=
n ∞
→。