精心整理页脚内容习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-132i-（（（2（（（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+....3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）z==精心整理页脚内容11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；（=（证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，1n a z -+++（4）若1,a =则,b a ∀≠皆有1a ba ab-=-证明：根据已知条件，有1aa =，因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<-....证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--<，因而221a b ab -<-，即11a bab-<-，结论得证。

7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即nz 应为a 的单位化向量，由此，na z a=， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。

9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)zi t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）iz t t=+精心整理页脚内容解：只需化为实参数方程即可。

（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t y t==，因而表示双曲线1xy =11．证明复平面上的圆周方程可表示为0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数z 由13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1z yi =+，代入映射函数中，得 211111iyw u iv z iy y-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为221, 11yu v y y-==++，消去参数y ，得....2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。

对于224xy +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得因而映成的像曲线的方程为11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，得2214u v +=，表示一半径为12的圆周。

14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。

（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。

（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。

代入,z x iy ==化为实方程得（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x轴。

（5）arg()4z i π-=，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为4π的射线。

15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。

（1）23z <<，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2）arg (02)z αβαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角分别为,αβ的角形区域，无界，单连通（3）312z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。

（4）221z z --+>，精心整理页脚内容显然该区域的边界为双曲线221z z --+=，化为实方程为2244115x y -=，再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。

（5）141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得所以表示圆心为17(,0)15-半径为815的圆周外部，是一无界多连通区域。

习题二答案1（0），（（（（2（（（x u 因此，函数在0z =点可导，0(0)0x xz f u iv ='=+=，函数处处不解析。

（2）22, u x v y ==，四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-解得：x y =， 因此，函数在直线y x =上可导， ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

（3）32233, 3u x xy v x y y =-=-，....四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，并且,u v 处处满足柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-因此，函数处处可导，处处解析，且导数为（4）2211()x iy f z x iy x yz +===-+，2222, x yu v x y x y ==++， 2222222222, ()()x y y x x y u v x y x y --==++， 22222222, ()()y x xy xyu v x y x y --==++， 因函数的定义域为0z ≠，故此，,u v 处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。

3．当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析？解：3232, u my nx y v x lxy =+=+22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+，由柯西—黎曼方程得：由（1）得n l =，由（2）得3, 3n m l =-=-，因而，最终有4．证明：若()f z 解析，则有222(())(())()f z f z f z x y∂∂'+=∂∂ 证明：由柯西—黎曼方程知，左端22=+222222()()x x x x uu vv uu vv uv vu u v +++-=+=+ 2()f z '==右端，证毕。

5．证明：若()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，则()f z 在D 内一定为常数。

（1）()f z 在D 内解析，（2）u 在D 内为常数，（3）()f z 在D 内为常数，（4）2v u =（5）231u v += 证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！（1）()f z u iv =-，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-=------------------------（1）而由()f z 的解析性，又有, x y y x u v u v ==-------------------------（2） 由（1）、（2）知，0x y x y u u v v ===≡，因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数（2）设1u c ≡，那么由柯西—黎曼方程得 0, 0x y y x v u v u =-≡=≡，精心整理页脚内容说明v 与,x y 无关，因而2v c ≡，从而12()f z c ic ≡+为常数。