陕西省黄陵中学高新部【最新】高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={t 2+s 2|t ，s ∈Z}，且x ∈A ，y ∈A ，则下列结论正确的是（ ） A ．x+y ∈AB ．x-y ∈AC ．xy ∈AD ．x A y∈ 2．设集合A={3，4，5}，B={3，6}，P={x|x ⊆A}，Q={x|x ⊆B}，则PQ=（ ） A ．{3}B ．{3，4，5，6}C ．{{3}}D ．{{3}，∅}3．已知集合{|A x x =≤，a=3．则下列关系式成立的是（ ）A ．a ∉AB ．a ⊆AC ．{a}⊆AD ．{a}∈A4．设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x 1x 2，x 1∈A ，x 2∈B}，则A B 中所有元素之积为（ ） A ．-8B ．-16C ．8D ．165．下列各个关系式中，正确的是（ ）A ．∅={0}B QC ．{3，5}≠{5，3}D ．{1}⊆{x|x 2=x}6．设集合M={a|∀x ∈R ，x 2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x ∈R ，（a-3）x+1=0}，若命题p ：a ∈M ，命题q ：a ∈N ，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．含有三个实数的集合可表示为{a ，b a ，1}，也可表示为{a 2，a+b ，0}，则a 2012+b 2013的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．±18．已知集合{b}={x ∈R|ax 2-4x+1=0, a,b ∈R }则a+b ＝A ．0或1B ．92C ．14D ．14或929．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．周长为10cm 的三角形C ．方程210x -=的实数解D ．地球上的小河流 10．下列关系式中，正确的是（ ）A ．{}0φ∈B ．{}00⊆C ．{}00∈D ．{}0φ= 11．若{}{}2,0,1,,0a a b -=，则20172017a b +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．212．下列六个关系式:⑴(){}{}(){}(){}(){}(){}{,}{,}2,,304005060a b b a a b b a ⊆==∅∈∅∈∅⊆其 中正确的个数为（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．少于4个二、填空题 13．已知集合{}{}20,1,,,1A x B x y ==-，，若A B =，则y =________.14．定义A-B={x|x ∈A 且x ∉B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=______． 15．已知集合M={3，m+1}，4∈M ，则实数m 的值为______．三、解答题16．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值.17．已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值． 18．已知x ∈R,集合A 中含有三个元素3,x ,x 2-2x.(1)求元素x 满足的条件;(2)若-2∈A ,求实数x.19．已知集合A={x|x=m 2-n 2，m ∈Z ，n ∈Z}．求证：（1）3∈A ；（2）偶数4k-2（k ∈Z ）不属于A ．20．设S ＝{x|x ＝m ＋，m 、n ∈Z}．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S 中的任意两个x 1、x 2，则x 1＋x 2、x 1·x 2是否属于S ？21． 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t . 22．对正整数n ，记I n ={1，2，3，...,n}，P n∈I n ，k ∈I n }． （1）求集合P 7中元素的个数；（2）若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并集．参考答案1．C【解析】∵集合A ={t 2+s 2∣∣t ,s ∈Z }，∴1∈A ，2∈A ，1+2=3∉A ，故A “x +y ∈A ”错误；又∵1−2=−1∉A ，故B “x −y ∈A ”错误；又∵12A ∉,故D “x y ∈A ”错误； 对于C,由x A y A ∈∈，，设22221122,?x t S y t S =+=+，且1122t S t S Z ∈，，，. 则()()()()()()22222222112212121212xy t S t S t t t S S t S S =++=+++ ()()()()()()22222212121212121212121212121222t t t t S S S S t S t t S S S t t t S S t S S t =+++-+=++-.且12121212t t S S t S S t Z ，+-∈，所以xy A ∈.故选C .2．D【解析】集合P ={x |x ⊆A }表示集合A 的子集构成的集合，故P ={∅,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5}}，同样Q ={∅,{3},{6},{3,6}}.∴P ∩Q ={{3},Φ}；故选D.3．C【解析】集合{|A x x =≤，3a =≤所以,a A ∈ {a}⊆A故选C.4．C【解析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合A B={x|x=x 1x2，x1∈A，x2∈B}，∴A B={2，-4，-1}，故A B中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8．故选C．5．D【解析】由空集的定义知∅={0}不正确，A不正确；集合Q不是有理数，所以B不正确；由集合元素的无序性知{3，5}={5，3}，所以C不正确；{x|x2=x}={0，1}，所以{1}⊆{0，1},所以D正确.故选D.6．A【解析】由题意，对于集合M，△=a2-4＜0，解得-2＜a＜2；对于集合N，a≠3若-2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立.命题p是命题q的充分不必要条件.故选A．7．B【解析】根据题意，由{a，ba，1}={a2，a+b，0}可得a=0或ba=0，又由ba的意义，则a≠0，必有ba=0，则b=0，则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，故选B．点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Venn 图法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.8．D【解析】解：因为{b}为单元素集，说明集合{x ∈R|ax 2-4x+1=0, a,b ∈R }，也只有一个元素为b ，即方程有两个等根，且为b ，故16- 4a=0,a=4,b=1/2,或者a=0,x=1/4=b,选项为D9．D【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.10．C【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为φ，而{}0代表由单元素0组成的集合，所以{}00∈，而φ与{}0的关系应该是{}0φ⊆.故选C.11．A【解析】由题意得a 不等于零，21a a b =-=，或21a b a ，=-=,所以11a b =-=，或11b a =-=，,即20172017a b +的值为0，选A.12．C【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为4个，故选C.点睛：本题主要考查了：（1）点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，； （2）元素和集合之间是属于关系，子集和集合之间是包含关系；（3）不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集．13．0【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.1,1,1B A x -∈∴-∈∴=-,又0,0A B ∈∈,0y ∴=故答案为0.点睛：利用元素的性质求参数的方法（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.14．{2}【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，又∵A-B={x|x ∈A 且x ∉B}，∴A-B={2}.故答案为：{2}.15．3【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M ，∴4=m+1，解得m=3．故答案为：3.16．32- 【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A ∈所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性， 当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意 所以32a =-【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.17．k ＝0或1.【解析】试题分析：讨论当k ＝0时和当k≠0时，两种情况，其中当k≠0时，只需Δ＝64－64k ＝0即可.试题解析：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.当k≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4.综上可知k ＝0或1.18．（1）x ≠-1,且x ≠0,且x ≠3（2）x=-2.【详解】(1)由集合中元素的互异性可得x ≠3,且x 2-2x ≠x ,x 2-2x ≠3,解得x ≠-1,且x ≠0,且x ≠3.故元素x 满足的条件是x ≠-1,且x ≠0,且x ≠3.(2)若-2∈A ,则x=-2或x 2-2x=-2.由于方程x 2-2x+2=0无解,所以x=-2.点睛：已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．19．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由3=22-12即可证得；（2）设4k-2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，分当m ，n 同奇或同偶时和当m，n一奇，一偶时两种情况进行否定即可.试题解析：（1）∵3=22-12，3∈A；（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．综上4k-2不属于A．20．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由a＝a＋即可判断；（2）不妨设x1＝m＋x2＝p＋，经过运算得x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)x1·x2＝(mp＋2nq)＋(mq＋np).试题解析：(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋S．(2)不妨设x1＝m＋，x2＝p＋，m、n、p、q∈Z．则x1＋x2＝(m＋)＋(p＋)＝(m＋n)＋(p＋q)∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，x1·x2＝(m＋)·(p＋)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)m、n、p、q∈Z．故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z．∴x1·x2∈S．综上，x1＋x2、x1·x2都属于S．点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．21．（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n<b n，可得a n-b n≤-1．由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤-[1+q+…+q n-2+q n-1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．试题解析：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝－q n－1＝－1<0，所以s<t.22．（1）46；（2）n的最大值为14.【解析】试题分析：（1）对于集合P7，有n=7．当k=4时，根据P n中有3个数与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．试题解析：（1）对于集合P7 ，有n=7.当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}中有3个数（1，2，3）与I n={1，2，3，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46.（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列2个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，，，}，可以分为下列2个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14.综上可得，n的最大值为14.点睛：(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．。