1.1.2 矢量的代数运算
例1-1-1 三角形的3个顶点为A（0，0，0）、B（4，6，-2）
和C（-2，4，8 ）。
（1）求B点和C点的位置矢量B和C之间的夹角；
（2）求B点到C点的距离矢量R及R的方向；
（3）判断ABC是否为一直角三角形，并求三角形的面积。
解： (1)
B ex 4 ey6 ez 2
• 在直角坐标系中
A B Ax Bx Ay By Az Bz
A
A B A cos
B
• 满足交换律和分配律

B 图1-1-5 矢量的标积
注：A B 0
AB
1.1.2 矢量的代数运算
A B
（2）矢量的矢积 （叉积 ）：为矢量。
A B n A B sin
n
A
– 在直角坐标系中
的线积分，即
Γ A dl C
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无
旋场，又称为保守场。
如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 磁场的旋涡源。
1.1.4 矢量场的旋度
3. 环量面密度
过点M 作一微小曲面S ，它的边界曲线记为C，曲面的法

ez cos
z
Az
O
Ax
A Ay y
Az
A


O
Ay
y
Ax

x
x
图1-1-1 矢量A分解为直角坐标分量
1.1.1 矢量和矢量场
（3）位置矢量
– 定义：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记
为 r。
– 直角坐标系中，空间任一点Px, y, z 的位置矢量
r exx ey y ezz
– 可用 r 代表空间点 P 的位置，函数 f x, y, z 可 记为 f r 。
1.1.1 矢量和矢量场
（4）微分元矢量
– 线微分元矢量通常称为线元 z 矢量
dl el dl
dl dl 3
– 线元矢量可表示成三个坐标 O
y
分量的矢量和。在直角坐标
dl1
系中有
x
dl 2
图1-1-2 直角坐标系中线元矢量 dl
dl dl1 dl2 dl3 e x dx e ydy ez dz
ex

u y
ey

u z
ez


cos ex cos ey cos ez
G el G cos G, el
梯度的定义为：u

u x
ex

u y
ey

u z
式中，为电荷体密度。试证明： D dS DdV dV
S
V
V
D dV 0 V D
1.1.4 矢量场的旋度
1. 矢量场的环量与旋涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通 量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任 何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积 分不为零。
1.1.1 矢量和矢量场
1. 标量和矢量
（1）定义
• 标量：只有大小、没有方向的量 ； 如：质量、温度、长度等
• 矢量：既有大小又有方向的量 ； 如：力、速度、加速度、电场强度。
注：零既没有大小也没有方向，因常出现在矢量的运 算中，作为约定，将零称为零矢量。
1.1.1 矢量和矢量场
（2）矢量的表示方法
S
S
1.1.3 矢量场的散度
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
有净的矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
例1-1-2 已知置于坐标原点处的点电荷q的电位
（3）旋度的性质
– 旋度的散度恒等于零。
A 0
– 旋度场一定是无散场 。
B 0
B A
（4）斯托克斯定理
A dl A dS
C
S
散度与旋度
F 0, F 0
F 0. F 0
F 0, F 0
线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0 时，极限
A dl
lim C S0 S
n
称为矢量场在点M 处沿方向 n的环流面密度。
注意：其值与点M 处的方向 n有关。
M S
C
1.1.4 矢量场的旋度
4. 旋度
（1）旋度的定义：若在点M处场矢量A在某方 向的环量面密度值最大，并记此最大环量面 密度值为R，定义旋度为
y
z
1.1.5 标量场的梯度
2. 梯度
| 概念：
u el
，u其中 l max
取el 得最大ul 值的方向
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
在直角坐标系中：
u u cos u cos u cos
l x
y
z


u x
M0


lim 0
u

uM 0

图1-1-8 方向导数
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。
l
在直角坐标系中：
u u x u y u z u cos u cos u cos
l x l y l z l x
微波技术与天线
——第1章 电磁场理论基 础
第1章 电磁场理论基础
1.1 矢量分析 1.2 麦克斯韦方程和边界条件 1.3 基于麦克斯韦理论的静态场描述 1.4 电磁场的波动方程、坡印廷定理 和唯一性定理 1.5 动态矢量位和标量位 1.6 理想介质中的SUPW 1.7 SUPW的反射和折射
1.1 矢量分析
标量场和矢量场
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、 F(x, y, z) 时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z,t) 、 F(x, y, z,t)
1.1.3 矢量场的散度
1. 矢量线
概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。
1.1.4 矢量场的旋度
如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面 的电流成正比，即
B(x, y, z) dl C
0I 0
J (x, y, z) dS
S
上式建立了磁场的环量与电流的关系。
1.1.4 矢量场的旋度
2. 环量
矢量场对于闭合曲线C 的环量定义为该矢量对闭合曲线C
rotA R
• 旋度的大小等于该点的最大环量面密度值； • 旋度的方向就是环量面密度取最大模值时所对应
的方向。
1.1.4 矢量场的旋度
（2）旋度的运算
– 在直角坐标系中
rotA

e
x

Az y

Ay z


e
y

Ax z

Az x


e
z

Ay x
1.1.3 矢量场的散度
3. 散度
（1）散度的定义
Ar dSr
divAr lim S
V 0
V
（2）散度的运算
• 在直角坐标系中
divA Ax Ay Az x y z
• 引入哈密尔顿算子


ex
x

ey
y

ez
z



S 1 B C 1 56 84 14 6
2
2
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理 量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
2. 矢量与标量相乘（数乘）
– 标量与矢量的积为矢量。 uA uAxe x uAy e y uAz e z
– 标量与矢量相乘满足交换律、结合律和分配律。
1.1.2 矢量的代数运算
3. 矢量的乘法
（1）矢量的标积 （点积 ）：为标量 。
• 等于两矢量的模与两矢量正向夹角的余弦三者之积
A B A B cos
意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。
F
M
dr r r dr
O
矢量线
1.1.3 矢量场的散度
2. 通量
– 在矢量场 A中，取面元矢量dS，矢量 A穿过面元 的通量记为
dΨ A dS Acos dS
– 通量 Ψ ：场矢量 A 穿过任意曲面 S 的通量。
Ψ A dS Acos dS
移矢量为
D

q 4πR3
R
。计算通过以坐标原点为球心、
半径为R的球面的电通量。
解：
n

R R

er
Ψ e
D dS q
S
4πR3
R R dS q
SR
4πR2
dS
S
q 4πR2 q 4πR2
说明：通过封闭球面的电通量Ψ e 的源是球面内的电荷q， 它也是产生矢量场 D 的源。