词或名词短语。并对v(t)的∆v(t)(∆v(t)＞0 或∆v(t)＜0)有明确的意义。 • 只有满足这两条，才能建立起映射F(t)。 即确定各因果链的极性。
• 定义3 若系统中要素变量vi(t)在一确定的
研究过程中，产生K次相对增量，则第K 研究过程中， 次相对增量， 次相对增量称为∆(k)vi(t)相对增量。 相对增量。
• 定理1 反馈环的极性为反馈环内因果链极性的
乘积。 • 证 设反馈环为 • v1(t)→v2(t)→…→vn-1(t)→vn(t)→v1(t) • 情况一、n个因果链中有偶数个负极性因果链。 1当n=2：存在如图所示两种情况 • (a) (b)
人口子系统的导出子图
子图与导出子图
• 有向图是描述系统基本结构的有效方
法 • 问：如何进一步描述两个变量之间的 依赖关系？ 依赖关系？
年出生人口
人口
因果关系图
• 若在描述系统的有向图G(t)=(V(t),X(t))中，
vi(t)vj(t)∈X(t),某一时间区间内，当 • 有∆vi(t)＞0时，是∆vj(t)≥0?？还是∆vj(t)＜ 0?？ • 即当vi(t)相对增加时，vj(t)相对增加(减少)?
因果链极性
• 定义5 设存在因果链vi(t)→vj(t), t∈T。 • ①若任t∈T， vi(t)任增量∆vi(t)＞0,存在
对应∆vj(t)＞0,则称在时间区间T内，vi(t) 到vj(t)的因果链为正，记为vi(t)→vj(t), t∈T。 • ②若任t∈T， vi(t)任增量∆vi(t)＞0,存在对 应∆vj(t) ＜ 0,则称在时间区间T内，vi(t) 到vj(t)的因果链为负，记为vi(t)→vj(t), t∈T。
链,t∈T当vi(t)＞a时， vi(t)到vj(t)存在负 因果链,t∈T • 或反之. • 或当vi(t)≤a,不存在因果关系，而当vi(t)＞ a时存在因果关系等等。
例:企业销售系统
• 设：vi(t)为未交付的订货量，vj(t)为
企业实际交货延迟时间。 • 若生产未饱和时，订货量增加，可 通过增加生产量来增加产量，故交 货时间并不要延长，有：
二、反馈环的极性
• 定义2 设反馈环中任一变量vi(t)，若在给
定时间区间内任意时刻，vi(t)量相对增加， 由它开始经过一个反馈后导至vi(t)量相对 再增加(减少)，则这个反馈环称为在给定 时间区间内为正反馈环(负反馈环)。
例2 人口子系统的因果关系图
• 根据实际意义，分析顶点间的关联关系， 根据实际意义，分析顶点间的关联关系，
子图
• 定义2 • 若 G(t)=(V(t),X(t)) 和 G1(t)=(V1(t),X1(t)) 为
系统有向图，且V1(t)是V(t)的子集,X1(t) 是X(t)的子集， • 则 G1(t)=(V1(t),X1(t)) 是 G(t)=(V(t),X(t)) 的 子图。
人口子系统的子图
导出子图
第二章 系统的动态性复杂因果 关系分析
• 知识点： • 因果关系图 （ 描述系 因果关系图（
统的模型） 定义， 统的模型 ） ： 定义 ， 建立方法 建立方法 • 反馈环及其极性分析 • 系统复杂性分析核技 －－基模分析技术 术－－基模分析技术
第一节 因果关系图
• §1.1 因果关系图 • 一、图论是刻划系统层次结构的有效方
§1.2反馈环
• 一、反馈环（反馈回路）定义 • 定义1 在一个系统中，n个不同要素变量 • • • • • 称为开环。
的闭合因果链序列 v1(t)→v2(t)→…→vn-1(t)→vn(t)→v1(t) 称为此系统中的反馈环(也称为闭环); 非闭合因果链序列 v1(t)→v2(t)→…→vn-1(t)→vn(t)
• 对于(a)，不妨设在给定时间区间内任意时刻t， (a) t
给v1(t)相对增量∆v1(t)＞0, • 由v1(t)→v2(t),则得到对应增量∆v2(t)＞0, • 由v2(t)→v1(t),则得到由∆v2(t)引出的v1(t)的二阶 相对增量∆(2)v1(t)＞0.
• 对于(b)，不妨设在给定时间区间内任意时刻t，
建立因果关系。 建立因果关系。
• 定义1一个系统有向图G是一个非空有限集
V(t)=V(G(t))和V(t)的不同元素vi(t), vj(t)的有 序对vi(t)vj(t)的一个集X(t)=X(G(t))所构成的 二元组(V(t)，X(t))，V(t)和X(t)的元素分别称 为G(t)的顶点和弧， • 弧vi(t)vj(t) 与顶点vi(t) 和vj(t)相关联，vi(t)为 弧vi(t)vj(t)的起点，vj(t) 为弧vi(t)vj(t) )的终点， 起点与终点统称为端点。 • 有 向 图 G(t) 记 为 G(t)=(V(t),X(t)) 或 G(V(t)， X(t))，弧vi(t)vj(t) 又可记为(vi(t),vj(t))。 • 注：图论中的普通有向图G=(V,X)顶点vi不是 时间t的函数。但当t=t0时，上述就是一个普 通有向图。
法 • 1有向图 • 有向图G＝（V（G），E（G））是一个 有序二元组， V（G）是顶点集，E（G） 是有向边（弧）集。
例子
• 例1：如图所示 • 一个人口子系统有向
图： • G(t)=(V(t),X(t)) • V(t)=｛v1(t) ，v2(t) ， v3(t)，v4(t)｝， • X(t)=(v1(t)v2(t),v1(t)v3 (t),v1(t)v4(t),v2(t)v1(t), v3(t)v1(t),v4(t)v2(t),v4( t)v3(t)｝
• 定义3 • 已 知 系 统 有 向 图 G1(t)=(V1(t),X1(t)) 是
G(t)=(V(t),X(t))的子图。 • 若vi(t)、vj(t) ∈ V1(t) ,当vi(t)、vj(t) ∈X(t) 时，有vi(t)、vj(t) ∈X1(t) ， • 则 称 G1(t)=(V1(t),X1(t)) 是 G(t)=(V(t),X(t)) 的由顶点子集V1(t) )的导出子图。
分析
• 因果关系图中的要素必须满足以下两个条
件： • 1单位一定要明确。 • 在社会经济系统中，有时候，一些量的单 位不明确，我们建立因果关系时，就应该 设计单位。 • 如，一些心理学方面的变量可被看作是具 有压力或压强的单位量。有的变量要素可 以为无量纲(如比例等)。
• 2因果关系图的要素变量v(t)必须是名
给v1(t)相对增量∆v1(t)＞0, • 由v1(t)→v2(t),则得到对应增量∆v2(t)＜0, • 由v2(t)→v1(t),则得到由∆v2(t)引出的v1(t)的二阶 相对增量∆(2)v1(t)＞0.
• 2设n=k时成立。 • 3证n=k+1时结论成立 • 即：已知 • v1(t)→v2(t)→…→vK-1(t)→vK(t)→v1(t) • 含偶数个负因果链，其极性为正。 • 证 • v1(t)→v2(t)→…→vK(t)→vk+1(t)→v1(t) • 含偶数个负因果链，其极性也为正。
• 例如：年出生人口 2(t)→人口 1(t) 例如：年出生人口v 人口v 人口 •
年死亡人口v 人口v 年死亡人口vi(t)→vj(t), t∈T。则vi(t),vj(t)同方向变化，
对任t∈T,vi(t)与vj(t)的函数关系为增函数;
• vi(t)→vj(t), t∈T。则vi(t),vj(t)反方向变化，
(1)
(2)
• 分情况（1）：设(1)中vk(t)→v1(t)为负: • 设 时 刻 t， 给 v1(t) 相 对 增 量 ∆v1(t)＞0， 由
v1(t)→v2(t)→…→vk(t)→v1(t) 的 极 性 为 正 ， 而∆(2)v1(t)＞0，则在(1)中， • ∆v1(t)由v1(t)→v2(t)→…→vk(t)引起的相对增 量∆vk(t)＜0。 • 若(2)中vK(t)→vk+1(t)→v1(t), • 由 相 对 增 量 ∆vk(t)＜0 引 出 ∆vk+1(t)＜0, 由 ∆vk+1＜0, 引 出 v1(t) 的 相 对 增 量 ∆(2)v1(t)＞0。
• （ 1）当未交付的订货量 i(t)小于企业生 ） 当未交付的订货量v 小于企业生
产饱和量时，vi(t)与vj(t)不存在因果链。 产饱和量时， 与 不存在因果链。 不存在因果链 • （ 2）当未交付的订货量 i(t)大于生产饱 ） 当未交付的订货量v 大于生产饱 和量时，存在v 到 的正因果链。 和量时，存在 i(t)到vj(t)的正因果链。 的正因果链
• 因果关系图－－系统动力学描述系统的一 因果关系图－－系统动力学描述系统的一 －－
种模型它有效地解决了这一个问题。 种模型它有效地解决了这一个问题。
因果关系图
定义4 在系统中， 时刻要素变量 时刻要素变量v • 定义 在系统中，若t时刻要素变量 j(t) 而变化， 随 vi(t)而变化 ， 则称 i(t)到 vj(t)存在因果 而变化 则称v 到 存在因果 链vi(t)→vj(t), t∈T。 ∈ 。 • 例如：年出生人口 2(t)→人口 1(t) 例如：年出生人口v 人口v 人口
实际系统变化较复杂
• • • • •
①T=T1∪T2且T1∩T2=ф, 在T1内vi(t)到vj(t)存在正因果链 在T2内vi(t)到vj(t)存在负因果链 或相反. 或在T1 内不存在因果关系，而在T2 内存 在因果关系。
• ② 当 vi(t)＜a 时 ， vi(t) 到 vj(t) 存 在 正 因 果
• 情况二、 n个因果链中有奇数个负极性因果链。同 情况二、 个因果链中有奇数个负极性因果链 个因果链中有奇数个负极性因果链。 理可证。 理可证。 • 证毕。 证毕。
1.3．因果关系图的建立
• 定义1 设G(t)=(V(t),X(t))是一个有向图，
若存在映射F(t):X(t)→｛-,+｝，则G(t)连 同 映 射 F(t) 称 为 因 果 关 系 图 ， 记 为 D(t)=(V(t),X(t),F(t)),且弧集X(t)又称为因 果链集，有向图G(t)称为因果关系图D(t) 的基图，D(t)称为G(t)的因果关系图。