2019届石家庄高三一模数学试题（理科）石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案一、选择题1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题13. 1 14. ()122y x =- 或()122y x =--16. 10 三、解答题17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1sin 2ac B 可得12ac =.……2分△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=即AC 的长为……6分（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2BD BC BA =+u u u r u u u r u u u r……8分∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =221(2cos )4a c ac B ++=221()4a c ac ++1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥u u u r,即BD 长的最小值为3. ……12分18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60oPBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC =222PC BC PB +=Q ，PC BC ∴⊥，…………2分,PC AB AB BC B ⊥⋂=Q 又，PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂Q 平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：(0,0,0),(0,0,(2,0,0),C P AB F ，…………6分设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m则11100CB x CP ⎧•==⎪⎨•==⎪⎩u u u r u u u r m m解得1x =11y =-，10z =即1,0)=-m …………8分设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n则222200CB x CF x ⎧•=+=⎪⎨•=+=⎪⎩u u u r u u u r n n解得2x =，21y =-，21z =-即1,1)=--n …………10分cos 5,<>===g m n m n m n由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角PBC F --12分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分 作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分 Q 点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，在Rt FMN ∆中，12FMPC ==Q2MN = FN ∴=…………10分 sin 5FM FNM FN ∴∠==,所以二面角P BCF --12分y19. 解答：根据题意可得111(30)5525133(31)25102512331(32)2551010411327(33)2251010525312211(34)210105550212(35)251025111(36)1010100P P P P P P P ξξξξξξξ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=……..部分对给2分，全对给4分ξ的分布列如下：…………………………………5分13171121()3031323334353632.825254255025100E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……6分（2）当购进32份时，利润为()()2131324314*********.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++=……8分当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=+++=……10分>可见，当购进32份时，利润更高！……12分 20. 解：（1） 由抛物线定义,得02pPF x =+，由题意得：0022240p xx px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩……2分 解得021p x =⎧⎨=⎩所以，抛物线的方程为24y x = ……4分 （2）由题意知，过P 引圆()2223(02)x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为1(1)2y k x =-+，则圆心M 到切线PA 的距离121221k d r k +==+，整理得，22211(4)840r k k r --+-=.设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得22222(4)840r k k r --+-=.所以，12,k k 是方程222(4)840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-. ……6分设11(,)A x y ，22(,)B x y由12(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. ……8分 设点D 的横坐标为0x ，则222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分设12t k k =+，则[)284,24t r =∈---， 所以，20223x t t =--，对称轴122t =>-，所以0937x <≤ ……12分21.解：（1）2211(1)(),0a x a f x x x x x---'=-=>（） 当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；……2分当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '<⇒<<-，函数)(x f 在(0,1)a -上单调递减；()0,1f x x a '>⇒>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；当1a >时，()1ln(1)f x a =+-极小 ……4分（2）令1(sin 1)2ln sin 1()()()ln ,(0)a a x x x a x F x f x g x x x x x x-+--+=-=+-=> 当11a -≤≤时，要证：)()(x g x f >，即证()0F x >,即证ln sin 10x x a x -+>， 法1：要证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-.①当01a <≤时，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增， 故()(0)0h x h >=，即sin x x >. ……6分∴1sin 1ax a x ->-*（）……7分 令()ln 1q x x x x =-+，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减；(1,),()0q x x '∈+∞>，()q x 在(1,)+∞单调递增，故()(1)0q x q ≥=，即ln 1x x x ≥-.当且仅当1x =时取等号又Q 01a <≤，∴ln 11x x x ax ≥-≥-**（）由*（）、**（）可知ln 11sin 1x x x ax a x ≥-≥->- 所以当01a <≤时，ln sin 1x x a x >- ……9分 ②当=0a 时，即证ln 1x x >-. 令()=ln m x x x ，()=ln 1m x x '+，()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，min11()()=1m x m e e=->-，故ln 1x x >-.……10分③当10a -≤<时，当0,1]x ∈（时，sin 11a x -<-，由②知1()ln m x x x e =≥-，而11e->-， 故ln sin 1x x a x >-； ……11分当1,x ∈+∞（）时，sin 10a x -≤，由②知()ln (1)0m x x x m =>=，故ln sin 1x x a x >-；所以，当0,x ∈+∞（）时，ln sin 1x x a x >-.综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分法2： 当11a -≤≤时，下证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-. ……5分① 当1x >时，易知ln 0x x >，sin 10a x -≤，故ln sin 10x x a x -+>； (6)分 ②当1x =时，0sin110a -+>显然成立，故ln sin 10x x a x -+>； ……7分③当01x <<时，sin 0x >，故sin sin sin x a x x -≤≤， 令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >.，故sin a x x <； ……9分只需证()ln 10q x x x x =-+>，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减，故()(1)0q x q >=，故ln sin 10x x a x -+>； ……11分 综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分 法3：易知1sin ()()ln xf xg x x a x x-=+- 要证()()f x g x >，即证1sin ln xx a x x+>⋅……6分 令1()ln x x x ϕ=+，则'21()x x xϕ-=，故min ()(1)1x ϕϕ== ……8分 令()sin h x x x =-，()cos 10h x x '=-≤，故()h x 在0+∞（，）上递减 由(0)0h =，从而当0x >时sin x x <，故sin 1xx< ……10分 由11a -≤≤，故sin 1xa x⋅< ……11分 综上，当11a -≤≤时，()()f x g x > ……12分22.（Ⅰ）曲线C的普通方程为：, ……2分令，……3分化简得；……5分（Ⅱ）解法1：把……6分令，……7分方程的解分别为点A,B的极径，……8分，……10分解法2：射线的参数方程为，把参数方程代入曲线C的平面直角坐标方程中得，, ……6分令，得，……7分方程的解分别为点A,B的参数，……8分，……10分23.（Ⅰ）不等式可化为……1分或……2分或……3分解得的解集为……5分（Ⅱ）……6分，……8分当且仅当时，即时，取“=”，的最小值为．……10分方法2：……6分，……8分当时，取得最小值为．……10分。