由题中给出的
x
，y
s s ，
2 1
及
2 2
求T
的
观察值
t x y n 0.1405 0.1385
6 1.28.
s12 s22
0.75105 0.71105
由于 t 1.28 2.2281 即 t W 。因此，
接受原假设 H 0 ，即认为两批元件的电 阻无显著差异
例4 从两处煤矿各抽样次数，分析 得到煤的含灰率（单位：%）如下：
解 两批元件的电阻有无显著差异
就是说两个总体均值是否相等，即检验
假设
H H : ; : .
0
0
1
0
对于显著性水平检验 0.05 ，因为
t n1 n2 6，由
分布表查得 t (10) 2.2281 2
使
P(T 2.2281) 0.05.
因此，该检验的拒绝域为
W (T 2.2281).
T
1
2
X Y
,
11
S12
n n 1
2
11
S12
n n 1
2
其中
n S n S 2
(
1)
1
2 ( 1)
1
2
2
2.
S12
2
n n 1
2
由抽样分布知
T ~ t(n1 n2 2).
对于给定的显著性水平 (0 1) ，由
t 分布表查得 t (n1 n2 2) ，使 2 P( T t (n1 n2 2)) . 2
例1 从经验值知，灯泡寿命服从 正态分布，现从一批灯泡中随即抽取
20个，算得平均寿命 x 1900h ，样本
标准差 S 490h 。检验该批灯泡的平
均寿命是否为2000h( 0.01).
解 这是一个正态总体，方差未知
对总体均值 是否为 2000h 的检验问
题。因此采用 t 检验法进行检验，要检
8.3 t 检验法 t 检验法是使用服从 t 分布的统计
量来进行检验，当总体服从正态分布且
方差未知时，对总体的数学期望 进行
检验，可用 t 检验法。检验步棸同U 检验法，只是使用 t 统计量来进行。因
此称为 t 检验法。
8.3.1 单一正态总体均值的检验
设
(X
,
1
X
,...,
2
X
)
n
是来自正态总体
度算得样本均值 x 10631 .4 N cm2 ， 样本标准差 s 81.00N / cm2 。设弦线 的抗拉强度服从正态分布。问这批弦 线的抗拉强度是否较以往生产的弦线 的抗拉强度为高 ( 0.05) ？
解 本例是单侧检验问题，在
0.05 下，检验假设
H 0 : 10560; H1 : 10560.,来自1X2
,...,X
n1)
和
分别是从 X 和 Y 中抽取的两个独立样
本，X
，Y
和
S2 1
，S
2 2
分别为两个样本的
均值和方差，设两总体方差
2 1
2 2
2
未知。现对两总体均值
1
与 2
是否存
在差异进行检验，即假设检验
H H : ; : .
0
0
1
0
在 H 0 为真的条件下，可构造统计量
X Y ( _ )
T (n1
1) s2 1
30.02
，(n2
1) s2 2
7.78
，得
的
观察值为
t
21.5 18.0
2.245 .
30.02 7.78 1 1
7
54
由于t 2.245 2.3646 ，即t W ，因 此，接受原假设 H 0，即认为两煤矿的
含灰率无显著差异。但是由于2.245与 临界值2.3646比较接近，为稳妥起见， 最好再抽一次样，重做一次实验。
因为自由度 n 1 9 ，由 t 分布表查 t 得 (9) 1.8331，使
0.05
t P(T (9) 1.8331) 0.05. 0.05
因此，该检验的拒绝域为
W (T 1.8331).
由x 10631.4，s 81.00 及 n 10 ，计算
T 的观察值为
x
t
0 n 10631.4 10560 10 27874.
H H : ; : .
0
0
1
0
对于显著性水平 0.05，由于 n1 5 ，
n2 4 查得 t 分布表得
t (n1 n2 2) t 0.025 (7) 2.3646 使
2
P(T 2.3646) 0.05.
所以该检验的拒绝域为
W (T 2.3646).
有样本值计算得：x 21.5 ，y 18.0 ，
s
81
由于t 2.7874 1.8331 ，即 T 的观察值落
在拒绝域W 中，故拒绝 H 0，即接受 H 1 。
所以可以认为这批弦线较以往生产的弦
线在抗拉强度方面有显著提高。
8.3.2 两个正态总体均值差的检验
设两个正态总体
X
和Y
，X
~
Y ( , 2) 11
及 Y ~ N(
,
2
2)
2
，( X
0 n 1900 2000 20 0.9126.
s
490
由于 t0.91262.8609 tW
受假设 H 0 ，即可认为该批灯泡的平均寿
命为2000h 。
例2 某厂生产乐器用的一种镍合金
弦线，长期以来，其抗拉强度的总体均值
为 10560N / cm2 今生产了一批弦线，随机
抽取10根弦线做抗拉实验，由测得抗拉强
验假设
H H : ; : .
0
0
1
0
对于检验水平 0.01 。因为自由度
t n 1 19 ，由 分布表查得t0.005(19) 2.8609
从而检验的拒绝域为
W (T 2.8609).
由样本均值 x 1900h 及样本标准差
s
490h
，计算T
X
0
n 的观察值
S
x
t
甲矿：24.3,20.3,23.7,21.3,17.4. 乙矿：18.2,16.920.216.7.
假定各煤矿的含灰率都服从正态分布， 且方差相等。问甲、乙两煤矿的含灰
率有无显著差异 ( 0.05)？
解 根据题意，设甲煤矿的含灰率
X
~
N
( 1
,
2) 。乙煤矿的含灰率
Y
~
N ( 2 ,
2)
要检验假设
t 由 分布表查得 t (n 1) ，使 2 P( T t (n 1)) . 2
如图8-4所示，得检验的拒绝域为
W ( T t (n 1)). 2
t(x, n)
2
2
t
0
t
x
2
2
图8-4
这种利用 t 分布统计量的检验方法
称为 t 检验法。上面进行的是 t 双侧
检验。类似的也可以进行单侧检验。
从而检验的拒绝域为
W ( T t (n1 n2 2)). 2
特别地，若两样本容量 n1 n2 n 时
T X Y n ~ (2n 2).
S12
S
2 2
以上进行的是双侧检验，类似地可 以进行单侧检验。
例3 对于 A ，B 两批无线电元件 的电阻进行测试，各随机抽6件，由测试 结果计算得x 0.1405，y 0.1385，s12 0.75 105 s22 0.7110。5 根据经验，元件的阻值服从 正态分布。已知两总体方差相等，能否认 为；两批元件的阻值无显著差异( 0.05)？
N(, 2) 的一个样本，其中方差 2 未
知，要检验假设
H0 : 0; H1 : 0.
若 H 0 为真，由于方差 2 未知，用样本
均值 X 及样本方差 S2 可构造统计量
X
T
0 n,
S
由抽样分布知 T ~ t(n 1).
这就表明，H 0 为真时，T 的观察值
较集中在零的附近。对于显著性水平 ，