一二维形式的柯西不等式
对应学生用书
．二维形式的柯西不等式()定理：若，，，都是实数，则(＋)(＋)
≥
(＋)
，当且仅当＝时，等号成立．
()二维形式的柯西不等式的推论：
(＋)(＋)≥(＋)(，，，为非负实数)；
≥
＋
·
(，，，
)；
∈
≥
·
＋
∈
)．
(，，，
．柯西不等式的向量形式
α·β
≤
α
β·
是两个向量，则
α
，
β
定理：设
零向量
，当且仅当
β
时
α
＝
β
是
，或存在实数，使
，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤αβ，取等号“＝”的条件是β＝或存在实数，使α＝β.
．二维形式的三角不等式
()定理：＋≥(，，，∈)．
当且仅当三点，与共线，并且，点在原点异侧时，等号成立．
()推论：对于任意的，，，，，∈，有
＋
≥.
事实上，在平面直角坐标系中，设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，根据△的边长关系有＋≥，当且仅当三点，，共线，并且点，在点的异侧时，等号成立．
对应学生用书
[例]已知θ为锐角，，∈
，求证：＋≥(＋).
＋
[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“＝θ＋θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明]∵＋
＝(θ＋θ)
≥θ)· θ＋( θ)· θ))
＝(＋)，
∴(＋)≤＋.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用
添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而
利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
．已知＋＝，＋＝，求证：＋≤.
证明：由柯西不等式得
(＋)≤(＋)(＋)＝，
∴＋≤.
．已知，，，为正实数．
求证：(＋)≥(＋).
证明：(＋)＝[()＋()]≥
＝(＋).
．设，，为正数，
求证：＋＋≥(＋＋)．
证明：由柯西不等式：
·≥＋，
即·≥＋.
同理：·≥＋，
·≥＋，
将上面三个同向不等式相加得：
(＋)＋(＋)))≥(＋＋)
∴＋＋≥·(＋＋).。