数列一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.13B.15C.18D.192．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．53．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝3，前3项和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．2B ．33C ．84D ．1894．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝5，a 11－a 4＝7，则S 13等于( )A ．152B ．154C ．156D ．1585．已知数列{a n }中，a 1＝b (b >1)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ∈N *)，能使a n ＝b 的n 可以等于( )A ．14B ．15C ．16D ．176．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 6a 6B.S 7a 7C.S 8a 8D.S 9a 98．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置)9．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝________.10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________．11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.12．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1－a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a nn的最小值是________．13．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将数列中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋b 2c2的值为________．14．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则m ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)在数列{a n }、{b n }中，已知{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 5＝9，又点(n ，b n )在曲线y ＝3x上．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .16．(13分)设各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝17. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在最小正整数m ，使得当n ≥m 时，a n >201115恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．17．(13分)某同学在暑假的勤工俭学活动中，帮助某公司推销一种产品，每推销1件产品可获利润4元，第1天他推销了12件，之后加强了宣传，从第2天起，每天比前一天多推销3件．问：(1)该同学第6天的获利是多少元？(2)该同学参加这次活动的时间至少要达到多少天，所获得的总利润才能不少于1020元？18．(14分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n，n ∈N＋.(1)求a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，12a n －1(n 为偶数)，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .19.(14分)数列{b n }(n ∈N *)是递增的等比数列，且b 1＋b 3＝5，b 1b 3＝4. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝log 2b n ＋3，求证数列{a n }是等差数列； (3)若a 21＋a 2＋a 3＋…＋a m ≤a 46，求m 的最大值．20．(14分)已知数列{a n }单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若对任意i ，j (1≤i ≤j ≤K )，a j －a i 仍是{a n }中的项，则称数列{a n }为“K 项可减数列”．(1)已知数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{b n －2}是“K 项可减数列”，试确定K 的最大值．(2)求证：若数列{a n }是“K 项可减数列”，则其前n 项和S n ＝n2a n (n ＝1,2，…，K )．参考答案1．B [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 3S 6＝13，得1－q 31－q 6＝13， 解得q 3＝2，所以S 6S 12＝1－q 61－q 12＝1－41－16＝15，故选B.2．D [解析] ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝4k ＋4，∴4k ＋4＝24，可得k ＝5，故选D. 3．C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝21，得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3(22＋23＋24)＝84，故选C.4．C [解析] 由题设a 3＋a 7－a 10＝5，a 11－a 4＝7，得a 3＋a 11＋a 7－(a 10＋a 4)＝12，即a 7＝12，则S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13·2a 72＝156，故选C.5．C [解析] ∵a 1＝b (b >1)，∴a 2＝－1b ＋1，a 3＝－b ＋1b ＝－1－1b ，a 4＝b ，由此可得数列{a n }是周期为3的数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝b ，故选C.6．C [解析] 由已知，有S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，又S 1＝2a 1－1，得a 1＝1，则a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫125＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1 ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n ，故选C 7．C [解析] 由S 15>0，得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0，由S 16<0，得S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)<0，即a 9<－a 8<0，∴数列{a n }是递减数列，前8项为正，第9项起为负，则S 8最大，而正项中a 8最小，故选C.8．A [解析] 设等比数列的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得 a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．由a m a n ＝4a 1，得a 1·2m －1·a 1·2n －1＝4a 1，即2m ＋n －2＝24，m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝56＋2m 3n ＋n 6m≥56＋22m 3n ·n 6m ＝56＋23＝32， 当且仅当2m 3n ＝n6m ，即m ＝2，n ＝4时取等号，故选A.9．3或13 [解析] ∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，∴a 15a 5＝a 13a 3＝3或13，故选C.10．200 [解析] 由已知a n ＋1＝5a n －133a n －7，得a 2＝3，a 3＝1，a 4＝2，…，由此可知数列{a n }是周期为3的数列，其前100项的和为33×6＋2＝200.11．1 [解析] 方法一：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10， ∴a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 方法二：∵S 2＝a 1＋a 2＝2S 1，∴a 2＝1， ∵S 3＝S 1＋S 2＝3，∴a 3＝1，∵S 4＝S 1＋S 3＝4，∴a 4＝1， 由此归纳a 10＝1.12．10 [解析] 由已知，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1，各式相加，得a n －a 1＝1＋3＋…＋2(n －1)－1＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2，即a n ＝(n －1)2＋35，∴a n n ＝n ＋36n －2≥2n ·36n－2＝10， 故当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时，a nn有最小值，最小值是10.13.516或174 [解析] 依题意，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac 或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc 或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab ， 由①得a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是递减的等差数列”相矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋b 2c 2＝516；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，∴c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋b 2c 2＝174.14．126 [解析] 每边n 个钢珠的正三角形需要钢珠n (n ＋1)2个，每边n 个钢珠的正方形需要钢珠n 2个，根据已知n (n ＋1)2＋n 2＝m .设每边n 个钢珠的正五边形需要钢珠a n 个，根据组成规律，则a n ＋1＝a n ＋3n ＋1且a 1＝1，根据这个递推式解得a n ＝1＋(3n ＋2)(n －1)2，根据已知1＋(3n ＋2)(n －1)2＋9＝m .所以n (n ＋1)2＋n 2＝10＋(3n ＋2)(n －1)2，解得n ＝9，所以m ＝9×102＋92＝126.15．[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则3d ＝a 5－a 2＝9－3＝6，d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 2－d ＋(n －1)d ＝2n －1； ∵点(n ，b n )在曲线y ＝3x 上，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)由已知c n ＝a n ＋b n ，得数列{c n }的前n 项和为T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝n (1＋2n －1)2＋3(1－3n )1－3＝12·3n ＋1＋n 2－32.16．[解答] (1)设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1，所以得a 1(q 4－1)q －1＝1，a 1(q 8－1)q －1＝17.相除得q 8－1q 4－1＝17，解得q 4＝16，所以q ＝2或q ＝－2(舍去)．将q ＝2代入a 1(q 4－1)q －1＝1得a 1＝115，所以a n ＝2n －115.(2)由a n ＝2n －115>201115，得2n －1>2011，而210<2011<211，所以n －1≥11，即n ≥12.因此，存在最小的正整数m ＝12，使得n ≥m 时，a n >201115恒成立．17．[解答] (1)记此同学第n 天推销的产品的件数为a n ，由题设可知，{a n }是一个公差为3的等差数列，则a n ＝12＋(n －1)×3＝3n ＋9，a 6＝27，∴该同学第6天的获利是27×4＝108(元)．(2)设该同学前n 天推销的产品的件数为S n ，由题设可知，S n ＝12n ＋n (n －1)2×3，令4S n ≥1020，即12n ＋n (n －1)2×3≥255，化简，得n 2＋7n －170≥0，解得n ≥10或n ≤－17(舍去)，故该同学参加这次活动的时间至少要达到10天，所获得的总利润才能不少于1020元．18.[解答] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n 中，令n ＝1，n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧2S 1＝a 21，2S 3＝a 22，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21，2(3a 1＋3d )＝(a 1＋d )2， 解得a 1＝2，d ＝4或d ＝－2(舍去)．所以a n ＝4n －2.(2)由(1)得b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，2n －3(n 为偶数)，所以T 2n ＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋(2×6－3)＋…＋22n －2＋(2×2n －3)＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4×n (n ＋1)2－3n＝4n 3＋2n 2－n －13. 19．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧b 1b 3＝4，b 1＋b 3＝5，知b 1，b 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，注意到b n ＋1>b n 得b 1＝1，b 3＝4. b 22＝b 1b 3＝4，得b 2＝2，∴b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.等比数列{b n }的公比为b 2b 1＝2，∴b n ＝b 1q n －1＝2n －1.(2)证明：a n ＝log 2b n ＋3＝log 22n －1＋3＝n －1＋3＝n ＋2. ∵a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋2]－(n ＋2)＝1，故数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(3)由(2)知数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列，有a 21＋a 2＋a 3＋…＋a m ＝a 21＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m －a 1＝32＋m ×3＋m (m －1)2×1－3＝6＋3m ＋m 2－m 2，∵a 46＝48，∴6＋3m ＋m 2－m2≤48，整理得m 2＋5m －84≤0，解得－12≤m ≤7. ∴m 的最大值是7.20．[解答] (1)设c n ＝b n －2＝2n －2，则c 1＝0，c 2＝2，c 3＝6，则c 1－c 1＝c 1，c 2－c 1＝c 2，c 2－c 2＝c 1，即数列{c n }一定是“2项可减数列”， 但因为c 3－c 2≠c 1，c 3－c 2≠c 2，c 3－c 2≠c 3，所以K 的最大值为2.(2)证明：因为数列{a n }是“K 项可减数列”，所以a K －a t (t ＝1,2，…，K )必定是数列{a n }中的项，而{a n }是递增数列，a K －a K <a K －a K －1<a K －a K －2<…<a K －a 1，所以必有a K －a K ＝a 1，a K －a K －1＝a 2，a K －a K －2＝a 3，…，a K －a 1＝a K . 故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a K ＝(a K －a K )＋(a K －a K －1)＋(a K －a K －2)＋…＋(a K －a 1) ＝Ka K －(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a K )，所以S K ＝Ka K －S K ，即S K ＝K2a K ，所以S n ＝n2a n (n ＝1,2，…，K )．。