dd stdt dt r ( r ) d d r s t d d 2 2 s t d d r d d s 2 s tr d d 2 2 s t r d d 2 s tr d d 2 2 s ,t
所以
r r r d d s t r d d s t2r d d22 st r r d d s t3,
微分几何13空间曲线
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
(s)
P
k(s) lim
s0 s
P1
(ss)
•
有 k(s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
3、6 一般螺线
1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。
2、性质：
（1）主法线与一个固定方向垂直。
证明：设 p是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固
定角
微商
，p 有0 p co p s0 p 0
（2）、副法线与一个固定向作固定角。
p
谢谢聆听
End
通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线 在一点邻近的近似形状：
1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。
2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的 几何意义。
3、挠率的符号对曲线的影响见表。
3、5 空间曲线论的基本定理
曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，
7、几个例题
例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。
例2 曲率恒为零的曲线是直线。
例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。
例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。
解
由题意，可设曲线为园柱螺线
r { a c,o a s, i s b } n
因此 a
b
4 25
a2 b 24,a2 b 25 a4,1b16 . 4
于是有
kk (((ss s))) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵
0 k(s) 0
k(s) 0 (s) 0 (s) 0
5、曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C 3 类r 的 r 曲 ( t 线)（,r C） ：d r d r s d s d r s .
但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 kk(s),(s)称为
空间曲线的自然方程。
空间曲线论基本定理
给出闭区间[s0,s1]上的两个连续函数 (s)0, (s) ,则除了空
间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线 的自然参数，并且 (s) 和 (s) 分别为曲线的曲率和挠率，即曲
线的自然方程为 k(s),(s)
则取有[rs(0s0)0, ;0 s,s0,。0]设为新,坐,标 系为，曲并线取上点r(s0r)(为s0)计的算邻弧近长点的的始新点坐，
标，则有
s
12 0s2 1 6 0 0 s 3
近似曲线在三个平面上的投影分别为
0,2920203，即在法平面上 半的 立投 方影 抛 ； 为 物
0,16003,在从切平面上物 为线 立 ； 方抛 0,1202,在密切平面上为。抛物线
3、挠率 与曲率类似有
r r
k(s)
k(s), ()
lim
s0
s
(ss)
(ss)
(s)
k(s)
, .( 1 ) / /.
定义 曲线（C）在P点,当 的挠和 率为异,向
(s) ,当 和 同.向
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得
(s)
又 ( )• (s ) k (s ) k (s ) (s )
因此 r r r r d 3 ssin kr 3(r 1 ,r r )
dt
r r
由此得到曲率的一般参数的表示式
k
r
3
由 0
( ) ( 1 )
( 1 ) (( 1 ) 1 )
( r 1 r )[( 1 ) r 1 r ]
( r , r, r ) 2
r 6 ( r , r , r ) ( r r ) 2
可得挠率公式为
((rr,rr,r)2)
6、密切园（曲率园）
过曲线（C）上一点 P 的主法线
P1
k
C•
的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以
C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
得所求园柱螺线为 r{4co ,s4sin ,25}
41 41 164
3、4 空间曲线在邻近一点的结构
给r1定6 (0(s0Cr s)0 ( 3 s 类020 ss 1曲 2 0 线11 022 s !) rr0 0 ((0s r 00 )s( r( s ) (( 0 2s0s ) s)) 0)2 2及 0其1 16 3上!()0 r一((0 s点s 00 ))( 3r (s s0) 3 ))(有s)3r(s0sO)r(s0)